Partindo do instante t0=0, um disco gira com velocidade angular omega(t)=pi t. Um móvel inicialmente na posição (x(0), y(0))=(1,0) se desloca radialmente segundo a lei r(t)=e^-t.
Use a regra da cadeia para encontrar a componente, na direção do eixo das abscissas, da velocidade desse móvel no instante t=1.
Dica: em coordenadas polares, a componente de interesse da posição desse móvel é x(r, theta)=r cos theta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco que está girando com uma velocidade angular que depende do tempo, dada por omega(t) = pi t. Além disso, temos um móvel que começa na posição (1, 0) e se move radialmente seguindo a lei r(t) = e^-t. A tarefa é encontrar a componente da velocidade desse móvel na direção do eixo das abscissas (o eixo x) no instante t = 1. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia em coordenadas polares, onde a posição na direção x é dada por x(r, theta) = r cos theta.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a posição x(t) do móvel em função do tempo. Sabemos que:
x(t) = r(t) cos theta(t)
Onde:
  • r(t) = e^-t (dado)
  • theta(t) é o ângulo, que podemos encontrar integrando a velocidade angular omega(t).

Passo 3

Vamos encontrar theta(t). Sabemos que:
omega(t) = dthetadt = pi t
Para encontrar theta(t), integramos omega(t) em relação ao tempo:
theta(t) = integral omega(t) , dt = integral pi t , dt = pi2 t^2
Então, theta(t) = pi2 t^2.

Passo 4

Agora, substituímos theta(t) na expressão de x(t):
x(t) = e^-t cos(pi2 t^2)
Para encontrar a velocidade na direção x, precisamos derivar x(t) em relação ao tempo:
vx = dxdt

Passo 5

Vamos derivar x(t) usando a regra do produto e a regra da cadeia:
dxdt = ddt(e^-t) cos(pi2 t^2) + e^-t ddt[cos(pi2 t^2)]
dxdt = -e^-t cos(pi2 t^2) - e^-t sin(pi2 t^2) cdot pi t

Passo 6

Vamos simplificar a expressão para dxdt:
dxdt = -e^-t cos(pi2 t^2) - pi t e^-t sin(pi2 t^2)
Agora, vamos avaliar essa expressão no instante t = 1:
dxdtg|t=1 = -e^-1 cos(pi2 (1)^2) - pi (1) e^-1 sin(pi2 (1)^2)

Passo 7

Calculando os termos trigonométricos:
cos(pi2) = 0 e sin(pi2) = 1
Substituindo esses valores:
dxdtg|t=1 = -e^-1 cdot 0 - pi e^-1 cdot 1 = -pi e^-1

Resposta

A componente da velocidade na direção do eixo x no instante t = 1 é -dfracpie.

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