Partindo do instante , um disco gira com velocidade angular . Um móvel inicialmente na posição se desloca radialmente segundo a lei .
Use a regra da cadeia para encontrar a componente, na direção do eixo das abscissas, da velocidade desse móvel no instante .
Dica: em coordenadas polares, a componente de interesse da posição desse móvel é .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco que está girando com uma velocidade angular que depende do tempo, dada por . Além disso, temos um móvel que começa na posição e se move radialmente seguindo a lei . A tarefa é encontrar a componente da velocidade desse móvel na direção do eixo das abscissas (o eixo ) no instante . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia em coordenadas polares, onde a posição na direção é dada por .
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a posição do móvel em função do tempo. Sabemos que:
Onde:
(dado)
é o ângulo, que podemos encontrar integrando a velocidade angular .
Passo 3
Vamos encontrar . Sabemos que:
Para encontrar , integramos em relação ao tempo:
Então, .
Passo 4
Agora, substituímos na expressão de :
Para encontrar a velocidade na direção , precisamos derivar em relação ao tempo:
Passo 5
Vamos derivar usando a regra do produto e a regra da cadeia: