Calcule as integrais iteradas abaixo:
\int_{0}^{2} \int_{1}^{3}(x+2 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{1}^{3}(x+2y)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é (x+2y).
  • A integração interna é em y com y variando de 1 até 3.
  • A integração externa é em x com x variando de 0 até 2.
    Objetivo: calcular o valor numérico dessa integral iterada.

Passo 2

Entendendo a ordem de integração: primeiro calculamos a integral interna em y, tratando x como constante (porque, ao integrar em y, x não depende de y). Então escrevemos a integral interna isolada:
\int_{1}^{3}(x+2y)\,dy.

Passo 3

Vamos integrar termo a termo em y. Regras básicas usadas:
  • Se x é constante em relação a y, então \int x\,dy = x\cdot y.
  • Para potência de y, \int y\,dy = \dfrac{y^2}{2}.
Aplicando isso:
\int (x+2y)\,dy = \int x\,dy + \int 2y\,dy = x\cdot y + 2\cdot \frac{y^2}{2} = x y + y^2.
Conferência rápida: derivando x y + y^2 em relação a y obtém-se x + 2y, ok.

Passo 4

Agora avaliamos a primitiva x y + y^2 entre y=1 e y=3:
\left.[x y + y^2]\right_{y=1}^{y=3} = (x\cdot 3 + 3^2) - (x\cdot 1 + 1^2).
Calcule passo a passo:
x\cdot 3 + 3^2 = 3x + 9, \qquad x\cdot 1 + 1^2 = x + 1.
Subtraindo:
(3x+9)-(x+1)=2x+8.
Portanto a integral interna já calculada devolve a função de x
\int_{1}^{3}(x+2y)\,dy = 2x+8.

Passo 5

Agora calculamos a integral externa em x:
\int_{0}^{2}(2x+8)\,dx.
Integramos termo a termo em x: \int 2x\,dx = 2\cdot \dfrac{x^2}{2} = x^2 e \int 8\,dx = 8x. Logo a primitiva é
x^2 + 8x.

Passo 6

Avaliar x^2+8x entre x=0 e x=2:
\left.[x^2+8x]\right_{0}^{2} = (2^2 + 8\cdot 2) - (0^2 + 8\cdot 0).
Calcule:
2^2 + 8\cdot 2 = 4 + 16 = 20,
e a subtração pelo zero não altera. Portanto o valor da integral é 20.

Resposta

20

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