Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto correspondente a
.
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto do gráfico que corresponde ao par
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função:
. - O ponto no domínio:
. - O objetivo: achar a equação do plano tangente à superfície
no ponto .
Passo 2
Entender o que é o plano tangente (a parte teórica, devagarinho).
- O gráfico de
é a superfície no espaço dada por . - O plano tangente no ponto
é o melhor plano que aproxima essa superfície perto desse ponto; ele é a “reta tangente” generalizada para superfícies. - A fórmula padrão (linha de base que você deve decorar e saber usar) para o plano tangente é:
Aqui:
-
é o ponto no domínio onde se tangencia. -
é a coordenada do ponto sobre a superfície. -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em ; geometricamente, é a inclinação da superfície quando se anda na direção do eixo mantendo fixo. -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em ; é a inclinação na direção do eixo mantendo fixo.
Passo 3
Como aplicamos a fórmula: primeiro preciso calcular
,
e
para
. Vou lembrar como calcular derivadas parciais:
- Para
tratamos como constante e derivamos em relação a . - Para
tratamos como constante e derivamos em relação a .
Passo 4
Calcular as derivadas parciais simbólicas da função
.
- Derivando em relação a
(com constante):
Expliquei: a derivada de
é
, a de
em relação a
é
(pois
é constante), e a de
é
porque não depende de
.
Passo 5
Agora a derivada parcial em relação a
(com
constante):
Expliquei:
é constante em relação a
(derivada
),
dá
, e
dá
.
Passo 6
Avaliar
,
e
no ponto
.
- Avaliando
:
- Avaliando
:
- Avaliando
para obter a coordenada do ponto na superfície:
Portanto o ponto sobre a superfície é
.
Passo 7
Aplicar a fórmula do plano tangente com
,
,
,
:
Substituindo os valores:
Passo 8
Simplificar a expressão passo a passo (para ficar certinho na prova sem calculadora):
Primeiro desenvolver os parênteses:
Agora somar os termos constantes:
. Logo
Passo 9
Checagem rápida (boa prática): verificar que o plano contém o ponto
. Substituir
,
:
que é justamente a coordenada
do ponto; perfeito. Também as inclinações parciais concordam: a derivada parcial em
é coeficiente de
que obtivemos como
, e a parcial em
é coeficiente de
que obtivemos como
.