Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=x^{2}+x y-y^{2} no ponto correspondente a (1,-1).

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função \,f(x,y)=x^{2}+x y-y^{2}\, no ponto do gráfico que corresponde ao par (1,-1).
Informações dadas:
  • A função: \,f(x,y)=x^{2}+x y-y^{2}\,.
  • O ponto no domínio: \,(1,-1)\,.
  • O objetivo: achar a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (x,y)=(1,-1).

Passo 2

Entender o que é o plano tangente (a parte teórica, devagarinho).
  • O gráfico de \,f(x,y)\, é a superfície no espaço dada por \,z=f(x,y)\,.
  • O plano tangente no ponto (a,b,f(a,b)) é o melhor plano que aproxima essa superfície perto desse ponto; ele é a “reta tangente” generalizada para superfícies.
  • A fórmula padrão (linha de base que você deve decorar e saber usar) para o plano tangente é:
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b).
Aqui:
  • (a,b) é o ponto no domínio onde se tangencia.
  • f(a,b) é a coordenada z do ponto sobre a superfície.
  • f_x(a,b) é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (a,b); geometricamente, é a inclinação da superfície quando se anda na direção do eixo x mantendo y fixo.
  • f_y(a,b) é a derivada parcial de f em relação a y avaliada em (a,b); é a inclinação na direção do eixo y mantendo x fixo.

Passo 3

Como aplicamos a fórmula: primeiro preciso calcular f(a,b), f_x(a,b) e f_y(a,b) para (a,b)=(1,-1). Vou lembrar como calcular derivadas parciais:
  • Para \,f_x(x,y)\, tratamos y como constante e derivamos em relação a x.
  • Para \,f_y(x,y)\, tratamos x como constante e derivamos em relação a y.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais simbólicas da função \,f(x,y)=x^{2}+x y-y^{2}\,.
  • Derivando em relação a x (com y constante):
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+x y-y^{2}\bigr)=2x+y.
Expliquei: a derivada de x^{2} é 2x, a de x y em relação a x é y (pois y é constante), e a de -y^{2} é 0 porque não depende de x.

Passo 5

Agora a derivada parcial em relação a y (com x constante):
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+x y-y^{2}\bigr)=x-2y.
Expliquei: x^{2} é constante em relação a y (derivada 0), x y x, e -y^{2} -2y.

Passo 6

Avaliar f_x, f_y e f no ponto (1,-1).
  • Avaliando f_x:
f_x(1,-1)=2\cdot 1 + (-1)=2-1=1.
  • Avaliando f_y:
f_y(1,-1)=1-2\cdot(-1)=1+2=3.
  • Avaliando f para obter a coordenada z do ponto na superfície:
f(1,-1)=1^{2}+1\cdot(-1)-(-1)^{2}=1-1-1=-1.
Portanto o ponto sobre a superfície é (1,-1,-1).

Passo 7

Aplicar a fórmula do plano tangente com (a,b)=(1,-1), f(a,b)=-1, f_x(a,b)=1, f_y(a,b)=3:
z = f(1,-1) + f_x(1,-1)\,(x-1) + f_y(1,-1)\,(y-(-1)).
Substituindo os valores:
z = -1 + 1\cdot(x-1) + 3\cdot(y+1).

Passo 8

Simplificar a expressão passo a passo (para ficar certinho na prova sem calculadora):
z = -1 + (x-1) + 3(y+1).
Primeiro desenvolver os parênteses:
z = -1 + x -1 + 3y + 3.
Agora somar os termos constantes: -1 -1 +3 = 1. Logo
z = x + 3y + 1.

Passo 9

Checagem rápida (boa prática): verificar que o plano contém o ponto (1,-1,-1). Substituir x=1, y=-1:
z = 1 + 3\cdot(-1) + 1 = 1 -3 +1 = -1,
que é justamente a coordenada z do ponto; perfeito. Também as inclinações parciais concordam: a derivada parcial em x é coeficiente de (x-1) que obtivemos como 1, e a parcial em y é coeficiente de (y+1) que obtivemos como 3.

Resposta

z = x + 3y + 1

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