(2,5 pts) Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(x y, y z, x z) através da superficie do sólido
raizx^2+y^2 <= z <= 4

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(x y, y z, x z) através da superfície do sólido definido por raizx^2+y^2 <= z <= 4. Para isso, vamos usar o Teorema do Divergente, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume delimitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência de F é dada por:
nabla cdot F = partial (x y)partial x + partial (y z)partial y + partial (x z)partial z

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial (x y)partial x = y
partial (y z)partial y = z
partial (x z)partial z = x
Portanto,
nabla cdot F = y + z + x

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume delimitado. É conveniente usar coordenadas cilíndricas (r, theta, z), pois a região tem simetria cilíndrica.
Em coordenadas cilíndricas:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
A divergência em coordenadas cilíndricas será:
nabla cdot F = y + z + x = r sin theta + z + r cos theta

Passo 5

Determinar os limites de integração. A região é definida por raizx^2 + y^2 <= z <= 4, o que em coordenadas cilíndricas fica r <= z <= 4.
Além disso:
  • r varia de 0 a 4 (já que no topo z=4, r=4),
  • theta varia de 0 a 2pi.

Passo 6

Escrever a integral tripla:
Fluxo = integral0^2pi integral0^4 integralr^4 ( r sin theta + z + r cos theta ) cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, o termo extra r vem do Jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
integralr^4 ( r sin theta + z + r cos theta ) dz = r sin theta (4 - r) + 12(4^2 - r^2) + r cos theta (4 - r)

Passo 8

Simplificando:
= r sin theta (4 - r) + 16 - r^22 + r cos theta (4 - r)
= 4 r sin theta - r^2 sin theta + 8 - r^22 + 4 r cos theta - r^2 cos theta

Passo 9

Agora, multiplicamos por r e integramos em relação a r:
Fluxo = integral0^2pi integral0^4 (4 r sin theta - r^2 sin theta + 8 - r^22 + 4 r cos theta - r^2 cos theta ) r , dr , dtheta
Após calcular as integrais, obtemos:
Fluxo = 32,pi

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da superfície do sólido é 32,pi.

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