Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superficie do sólido
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície do sólido definido por
. Para isso, vamos usar o Teorema do Divergente, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume delimitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência de
é dada por:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume delimitado. É conveniente usar coordenadas cilíndricas
, pois a região tem simetria cilíndrica.
Em coordenadas cilíndricas:
A divergência em coordenadas cilíndricas será:
Passo 5
Determinar os limites de integração. A região é definida por
, o que em coordenadas cilíndricas fica
.
Além disso:
-
varia de a (já que no topo , ), -
varia de a .
Passo 6
Escrever a integral tripla:
Aqui, o termo extra
vem do Jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Simplificando:
Passo 9
Agora, multiplicamos por
e integramos em relação a
:
Após calcular as integrais, obtemos:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície do sólido é
.