Calcule as integrais iteradas.
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \operatorname{sen} y-y e^{x}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(x\sin y - y e^{x}\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é cálculo de integrais iteradas (Teorema de Fubini) e aplicação de integrais básicas em cada variável, tratando a outra como constante.

Passo 2

Primeiro integramos em y, tratando x como constante.
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(x\sin y - y e^{x}\bigr)\,dy = x\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin y\,dy \;-\; e^{x}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}y\,dy.
Calculando cada parte:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin y\,dy =\bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =-\cos\tfrac{\pi}{2}+\cos0=1,
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}y\,dy =\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^{2} =\frac{\pi^{2}}{8}.
Portanto a integral interna vira
x\cdot 1 \;-\; e^{x}\,\frac{\pi^{2}}{8} = x \;-\;\frac{\pi^{2}}{8}\,e^{x}.

Passo 3

Agora integramos em x de -1 a 1:
\int_{-1}^{1}\Bigl(x - \tfrac{\pi^{2}}{8}e^{x}\Bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}x\,dx -\frac{\pi^{2}}{8}\int_{-1}^{1}e^{x}\,dx.
Sabemos que
\int_{-1}^{1}x\,dx =\bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{-1}^{1} =\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0,
\int_{-1}^{1}e^{x}\,dx =\bigl[e^{x}\bigr]_{-1}^{1} =e - e^{-1}.
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\int_{-1}^{1}\Bigl(x - \tfrac{\pi^{2}}{8}e^{x}\Bigr)\,dx =0 \;-\;\frac{\pi^{2}}{8}\bigl(e - e^{-1}\bigr) =-\frac{\pi^{2}}{8}\bigl(e - e^{-1}\bigr).

Resposta

-\frac{\pi^{2}}{8}\bigl(e - e^{-1}\bigr).

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