Calcule as integrais iteradas.
\iint_{R}\left(y+x y^{-2}\right) d A, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 2\right. e \left.1 \leq y \leq 2\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
\displaystyle f(x,y)=y + x\,y^{-2}
sobre o retângulo
\displaystyle R=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;1\le y\le2\}.
O conteúdo aqui é integração iterada em região retangular, usando separação de variáveis.

Passo 2

Expressamos a integral dupla como iterada em x primeiro e depois em y:
\iint_{R}\bigl(y + x\,y^{-2}\bigr)\,dA = \int_{y=1}^{2}\!\!\int_{x=0}^{2}\bigl(y + x\,y^{-2}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 3

Calculamos a integral interna em relação a x com y fixo:
\int_{0}^{2}\bigl(y + x\,y^{-2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{2}y\,dx + \int_{0}^{2}x\,y^{-2}\,dx = y\bigl[x\bigr]_{0}^{2} + y^{-2}\bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{0}^{2} = 2y \;+\;2y^{-2}.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{1}^{2}\bigl(2y + 2y^{-2}\bigr)\,dy = 2\!\int_{1}^{2}y\,dy + 2\!\int_{1}^{2}y^{-2}\,dy = 2\bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{1}^{2} + 2\bigl[-y^{-1}\bigr]_{1}^{2} = \bigl[y^{2}\bigr]_{1}^{2} + 2\bigl(-\tfrac12+1\bigr) = (4-1)+1 = 4.

Resposta

4

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