Calcule as integrais iteradas.
\iint_{R} y \operatorname{sen}(x y) d A, onde R=[1,2] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}y\sin(xy)\,dA,
onde R=[1,2]\times\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr]. O conteúdo é o uso do Teorema de Fubini para escrever integrais iteradas e calcular cada uma.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini podemos escrever
\iint_{R}y\sin(xy)\,dA =\int_{y=0}^{\pi/2}\int_{x=1}^{2}y\sin(xy)\,dx\,dy.
Escolhemos integrar primeiro em x.

Passo 3

Calculemos
\int_{x=1}^{2}y\sin(xy)\,dx = y\int_{1}^{2}\sin(xy)\,dx = y\left[-\frac{\cos(xy)}{y}\right]_{x=1}^{2} = -\cos(2y)+\cos(y).

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{0}^{\pi/2}\bigl[-\cos(2y)+\cos(y)\bigr]\,dy =\int_{0}^{\pi/2}\cos(y)\,dy-\int_{0}^{\pi/2}\cos(2y)\,dy.
Calculando cada parte:
\int_{0}^{\pi/2}\cos(y)\,dy=[\sin(y)]_{0}^{\pi/2}=1, \quad \int_{0}^{\pi/2}\cos(2y)\,dy=\left[\frac{\sin(2y)}{2}\right]_{0}^{\pi/2}=0.
Logo o valor da integral dupla é 1-0=1.

Resposta

1

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