Calcule as integrais iteradas.
int_{0}^{\ln 2} \int_{0}^{1} x y e^{y^{2} x} d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{\ln 2}\int_{0}^{1} x\,y\,e^{y^{2}x}\,dy\,dx.
Este exercício envolve integrais duplas; vamos primeiro resolver a integral interna em y por substituição e depois fazer a integral externa em x.

Passo 2

Para a integral interna em y, usamos a substituição
u = x\,y^{2}, \quad du = 2\,x\,y\,dy \quad\Longrightarrow\quad x\,y\,dy = \frac{du}{2}.
Quando y=0, u=0, e quando y=1, u=x. Assim,
\int_{0}^{1} x\,y\,e^{x\,y^{2}}\,dy = \int_{0}^{x} e^{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{x} = \frac{e^{x}-1}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral externa, obtemos
\int_{0}^{\ln2}\frac{e^{x}-1}{2}\,dx = \frac{1}{2}\Bigl(\int_{0}^{\ln2}e^{x}\,dx - \int_{0}^{\ln2}1\,dx\Bigr).
Calculando cada parte:
\int_{0}^{\ln2}e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{\ln2} = 2 - 1 = 1, \quad \int_{0}^{\ln2}1\,dx = \ln2.
Portanto,
\int_{0}^{\ln2}\frac{e^{x}-1}{2}\,dx = \frac{1}{2}\bigl(1 - \ln2\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{1 - \ln2}{2}

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