a) Marque o valor correto de I=\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V, em que E é a semibola limitada superiormente pela esfera de raio 2 e centro na origem e inferiormente pelo plano xy. Use Coordenadas Esféricas para determinar I:
R: \left.\mathrm{a}_{1}\right) \boldsymbol{I}=\mathbf{0}
a \left.{ }_{2}\right) I=8 \pi
a3) \boldsymbol{I}=\frac{-176 \pi}{5} \left.a_{4}\right) \boldsymbol{I}=\frac{16 \pi}{7}
as) NDA
b) Indique as variações de \rho, de \theta e de \varphi em E e represente a função integrada f nas variáveis \rho, \theta e \varphi
R: a) I=
b) Variações de: \left\{\begin{array}{l}\rho \\\ \theta \\\ \varphi\end{array} \quad f(\rho, \theta, \varphi)=\right.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
I = \iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\;dV
onde E é a semiesfera de raio 2 centrada na origem e limitada inferiormente pelo plano xy. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, em que vamos usar
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
o integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho e o jacobiano dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Passo 2
Em coordenadas esféricas o integrando fica
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \rho
e o elemento de volume é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Passo 3
Para a semiesfera superior z\ge0 de raio 2 temos as variações: