a) Marque o valor correto de I=\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V, em que E é a semibola limitada superiormente pela esfera de raio 2 e centro na origem e inferiormente pelo plano xy. Use Coordenadas Esféricas para determinar I:
R: \left.\mathrm{a}_{1}\right) \boldsymbol{I}=\mathbf{0}
a \left.{ }_{2}\right) I=8 \pi
a3) \boldsymbol{I}=\frac{-176 \pi}{5}
\left.a_{4}\right) \boldsymbol{I}=\frac{16 \pi}{7}
as) NDA
b) Indique as variações de \rho, de \theta e de \varphi em E e represente a função integrada f nas variáveis \rho, \theta e \varphi
R: a) I=
b) Variações de: \left\{\begin{array}{l}\rho \\\ \theta \\\ \varphi\end{array} \quad f(\rho, \theta, \varphi)=\right.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
I = \iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\;dV
onde E é a semiesfera de raio 2 centrada na origem e limitada inferiormente pelo plano xy. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, em que vamos usar
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
o integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho e o jacobiano dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas o integrando fica
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \rho
e o elemento de volume é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Para a semiesfera superior z\ge0 de raio 2 temos as variações:
0 \le \rho \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi,\qquad 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}.

Passo 4

O integral transforma-se em
I = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\!\int_{\rho=0}^{2} \rho\;\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}d\theta \;\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi\;\int_{0}^{2}\rho^{3}\,d\rho.
Calculamos cada parte:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,\quad \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi = 1,\quad \int_{0}^{2}\rho^{3}\,d\rho = \frac{2^{4}}{4} = 4.
Logo
I = 2\pi \times 1 \times 4 = 8\pi.

Passo 5

Comparando com as opções, a resposta certa é \displaystyle I=8\pi, que corresponde à alternativa 2.

Passo 6

b) As variações e a função integrada em coordenadas esféricas são:
0 \le \rho \le 2,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2},
e
f(\rho,\theta,\varphi)=\rho.

Resposta

a) I = 8\pi.
b) \rho\in[0,2],\\ \theta\in[0,2\pi],\\ \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}],\quad f(\rho,\theta,\varphi)=\rho.

Exercícios relacionados