Dados os vetores u=(2,1, \propto) e \mathbf{v}=(\propto+2,-5,2) e \mathbf{w}=(2 \alpha, 8, \propto) determinar o valor de \propto para que u+v seja ortogonal ao vetor w-u.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=(2,1,\alpha), v=(\alpha+2,-5,2) e w=(2\alpha,8,\alpha)
e pede o valor de \alpha para que u+v seja ortogonal a w-u. Para isso usaremos as operações de soma e subtração de vetores e a condição de ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero.

Passo 2

Calcular u+v e w-u.
u+v = (2 + (\alpha+2),\,1 + (-5),\,\alpha + 2) = (\alpha+4,\,-4,\;\alpha+2),
w-u = (2\alpha - 2,\,8 - 1,\,\alpha - \alpha) = (2\alpha-2,\;7,\;0).

Passo 3

Impor a ortogonalidade via produto escalar:
(u+v)\cdot(w-u)=0.
Substituindo as coordenadas:
(\alpha+4)(2\alpha - 2) + (-4)\cdot 7 + (\alpha+2)\cdot 0 = 0 \;\Longrightarrow\; 2\alpha^2 +6\alpha -36 = 0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática:
2\alpha^2 +6\alpha -36 = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha^2 +3\alpha -18 = 0.
As raízes são
\alpha = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2} = \frac{-3 \pm 9}{2},
logo \alpha=3 ou \alpha=-6.

Resposta

\alpha=3 ou \alpha=-6.

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