Calcule a soma das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} 9^{-n} \cdot 4^{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}9^{-n}\cdot4^{n+1}.
O conteúdo aqui é soma de uma série geométrica. Vamos precisar reconhecer a razão da série e usar a fórmula de soma de uma série geométrica convergente.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral temos
9^{-n}\cdot4^{n+1} = \frac{4^{n+1}}{9^n} =4\;\frac{4^n}{9^n} =4\Bigl(\frac{4}{9}\Bigr)^n.
Ou seja, a série se torna
\sum_{n=1}^{\infty}4\Bigl(\frac{4}{9}\Bigr)^n =4\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{4}{9}\Bigr)^n.

Passo 3

Como \bigl|\tfrac{4}{9}\bigr|<1, a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty}r^n
converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty}r^n=\frac{r}{1-r}.
Aqui r=\tfrac{4}{9}.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
4\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{4}{9}\Bigr)^n =4\cdot\frac{\tfrac{4}{9}}{1-\tfrac{4}{9}} =4\cdot\frac{\tfrac{4}{9}}{\tfrac{5}{9}} =4\cdot\frac{4}{5} =\frac{16}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{5}

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