Calcule as integrais iteradas.
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{\cos \theta} e^{\sin \theta} d r d \theta
\int_{0}^{1} \int_{0}^{v} \sqrt{1-v^{2}} d u d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais iteradas:
integral0^pi/2integral0^costhetae^sintheta,dr,dtheta e integral0^1integral0^vraiz1-v^2,du,dv
Vamos usar aqui a propriedade de integrais iteradas (quando o integrando é constante em relação à variável interna) e, em seguida, realizar substituições simples para resolver as integrais externas.

Passo 2

Na primeira integral, e^sintheta não depende de r. Assim,
integral0^costhetae^sintheta,dr = e^sinthetaintegral0^costhetadr = e^sintheta,costheta

Passo 3

Fica então
integral0^pi/2e^sinthetacostheta,dtheta
Use a substituição u=sintheta, du=costheta,dtheta. Quando theta=0, u=0; quando theta=pi/2, u=1. Logo,
integral0^pi/2e^sinthetacostheta,dtheta = integral0^1e^u,du = e^u|0^1 = e-1

Passo 4

Na segunda integral, raiz1-v^2 é constante em relação a u. Então
integral0^vraiz1-v^2,du = raiz1-v^2integral0^vdu = vraiz1-v^2

Passo 5

Resta calcular
integral0^1vraiz1-v^2,dv
Faça t=1-v^2, de modo que dt=-2v,dv. Para v=0 vem t=1 e para v=1 vem t=0. A integral torna-se
integral1^0raizt,l(-tfracdt2r) = tfrac12integral0^1t^1/2,dt = tfrac12cdottfrac23l[t^3/2r]0^1 = tfrac13

Resposta

integral0^pi/2integral0^costhetae^sintheta,dr,dtheta = e-1, integral0^1integral0^vraiz1-v^2,du,dv = tfrac13

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