Calcule as integrais iteradas.
\int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^{x^{3}} \sin \left(\frac{y}{x}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{x=\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}}\;\int_{y=0}^{x^{3}}\sin\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo usado será mudança de variável na integral interna e depois integração direta na externa.

Passo 2

Para a integral interna em y, fazemos a substituição
u = \frac{y}{x} \quad\Longrightarrow\quad y = x\,u, \quad dy = x\,du.
Quando y=0, u=0. Quando y=x^{3}, u=x^{2}. Logo,
\int_{0}^{x^{3}}\sin\!\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr)\,dy = \int_{u=0}^{x^{2}}\sin(u)\,(x\,du) = x\int_{0}^{x^{2}}\sin(u)\,du = x\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{x^{2}} = x\bigl(1-\cos(x^{2})\bigr).

Passo 3

Substituindo na integral externa, temos
\int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}}x\bigl(1-\cos(x^{2})\bigr)\,dx = \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}}x\,dx - \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}}x\cos(x^{2})\,dx.
Para a primeira parte
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Para a segunda, fazemos t=x^{2}\Rightarrow dt=2x\,dx, logo
\int x\cos(x^{2})\,dx = \tfrac12\int\cos(t)\,dt = \tfrac12\sin(t) = \tfrac12\sin(x^{2}).
Combinando,
\int x\bigl(1-\cos(x^{2})\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin(x^{2})}{2}.

Passo 4

Avaliaremos de x=\sqrt{\pi} até x=\sqrt{2\pi}:
\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{\sin(x^{2})}{2}\Bigr]_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{2}\bigl[(2\pi - \sin(2\pi)) - (\pi - \sin(\pi))\bigr] = \frac{1}{2}(2\pi - \pi) = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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