Calcule as integrais duplas.
\iint_{D} x\left(1+y^{2}\right)^{-1 / 2} d A ; D é a região do primeiro quadrante compreendida por y=x^{2}, y=4 e x=0.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\iint_{D} x\bigl(1+y^{2}\bigr)^{-1/2}\,dA
onde D é a região do primeiro quadrante limitada por x=0, y=x^{2} e y=4. Vamos usar integração iterada escolhendo a ordem dx\,dy.

Passo 2

Para cada y entre 0 e 4, o valor de x varia de 0 até \sqrt{y}. Assim
\iint_{D} x\bigl(1+y^{2}\bigr)^{-1/2}\,dA = \int_{y=0}^{4}\int_{x=0}^{\sqrt{y}} x\bigl(1+y^{2}\bigr)^{-1/2}\,dx\,dy.

Passo 3

Como y é constante na integração interna, temos
\int_{x=0}^{\sqrt{y}} x\bigl(1+y^{2}\bigr)^{-1/2}\,dx =\bigl(1+y^{2}\bigr)^{-1/2} \int_{0}^{\sqrt{y}}x\,dx =\bigl(1+y^{2}\bigr)^{-1/2}\,\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{\sqrt{y}} =\frac{y}{2}\,(1+y^{2})^{-1/2}.

Passo 4

Substituindo na integral externa,
\iint_{D}x\,(1+y^{2})^{-1/2}\,dA = \int_{0}^{4}\frac{y}{2}\,(1+y^{2})^{-1/2}\,dy =\frac{1}{2}\int_{0}^{4}\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy.

Passo 5

Na integral unidimensional faça u=1+y^{2}, então du=2y\,dy e y\,dy=\tfrac{du}{2}. Assim
\frac{1}{2}\int_{0}^{4}\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy =\frac{1}{2}\int_{u=1}^{17}\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2} =\frac{1}{4}\int_{1}^{17}u^{-1/2}\,du =\frac{1}{4}\bigl[2u^{1/2}\bigr]_{1}^{17} =\frac{\sqrt{17}-1}{2}.

Resposta

\frac{\sqrt{17}-1}{2}.

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