Calcule as integrais iteradas.
\int_{-1}^{1} \int_{-x^{2}}^{x^{2}}\left(x^{2}-y\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral iterada
\int_{-1}^{1}\int_{-x^{2}}^{x^{2}}\bigl(x^{2}-y\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo é cálculo de integrais duplas via integrais iteradas. Primeiro vamos integrar em y para obter uma função só de x, e em seguida integramos em x.

Passo 2

Para a integral interna em y, encontramos uma antiderivada de \,x^{2}-y em relação a y. Uma primitiva é
\int\bigl(x^{2}-y\bigr)\,dy =x^{2}y-\frac{y^{2}}{2}.
Agora avaliamos de y=-x^{2} a y= x^{2}:
\Bigl[x^{2}y-\frac{y^{2}}{2}\Bigr]_{y=-x^{2}}^{y=x^{2}}.

Passo 3

Substituindo os limites:
x^{2}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{\bigl(x^{2}\bigr)^{2}}{2} \;-\; \Bigl(x^{2}\bigl(-x^{2}\bigr)-\frac{\bigl(-x^{2}\bigr)^{2}}{2}\Bigr).
Isso dá
x^{4}-\frac{x^{4}}{2} \;-\; \bigl(-x^{4}-\frac{x^{4}}{2}\bigr) = x^{4}-\tfrac{x^{4}}{2}+x^{4}+\tfrac{x^{4}}{2} =2x^{4}.
Logo a integral interna produz a função 2x^{4}.

Passo 4

Agora calculamos a integral externa:
\int_{-1}^{1}2x^{4}\,dx =2\int_{-1}^{1}x^{4}\,dx.
Como x^{4} é função par,
\int_{-1}^{1}x^{4}\,dx =2\int_{0}^{1}x^{4}\,dx =2\Bigl[\frac{x^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{1} =2\cdot\frac{1}{5} =\frac{2}{5}.
Multiplicando pelo 2 que estava na frente,
2\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{5}

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