Determine o jacobiano da transformação:
(a) Nos casos a seguir:
i) x=5 u-v, y=u+3 v.
ii) x=u v, y=u / v.
iii) x=v+w^{2}, y=w+u^{2}, z=u+v^{2}.
(b) Determine a imagem sobre a transformação T :
i) S=\{(u, v) \mid 0 \leq u \leq 3,0 \leq v \leq 2\} ; x=2 u+3 v, y=u-v.
ii) S é o quadrado limitado pelas retas u=0, u=1, v=0, v=1 ; x=v, y=u\left(1+v^{2}\right).
iii) S é o disco dado por u^{2}+v^{2} \leq 1 ; x=a u, y=b v.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Calcular o jacobiano das transformações dadas nos três casos:
(i) x=5u-v,\; y=u+3v.
(ii) x=uv,\; y=\dfrac{u}{v}.
(iii) x=v+w^{2},\; y=w+u^{2},\; z=u+v^{2}.
(b) Determinar a imagem da transformação T para três situações (cada uma com o domínio S e a regra de transformação):
Significado prático: J indica o fator (orientado) de escala de áreas locais provocado pela transformação. Se J é constante a transformação é afim/linear em termos de área; se muda com (u,v), a escala varia no domínio.
Para três variáveis (u,v,w)\mapsto(x,y,z) usamos a matriz 3\times3 das derivadas parciais e o jacobiano é sua determinante:
Conclusão: o jacobiano é constante igual a 16. Observação didática: como é constante a transformação é afim e localmente multiplica áreas por 16 (com inversão de orientação se o determinante fosse negativo; aqui é positivo).]
Passo 4
(a)(ii) Calcular o jacobiano de x=uv,\; y=\dfrac{u}{v}.
Calcular as derivadas parciais (atenção: v\neq 0 porque aparece divisão por v):
Conclusão: \displaystyle J(u,v)=-\dfrac{2u}{v} para v\neq 0. Observação didática: sinal negativo indica que a transformação inverte orientação localmente quando u/v>0; o módulo \dfrac{2|u|}{|v|} é o fator de escala de área.]
Passo 5
(a)(iii) Calcular o jacobiano de x=v+w^{2},\; y=w+u^{2},\; z=u+v^{2}.
Calcular todas as derivadas parciais (organizo por linhas correspondendo a x,y,z e colunas a u,v,w):
Transição para a parte (b): o objetivo é descrever a imagem T(S)=\{(x,y)\mid (x,y)=T(u,v)\text{ com }(u,v)\in S\}. Método geral (explicação breve):
Se T é linear/afim, a imagem de um retângulo/quadrado é um paralelogramo; calcula-se as imagens dos vértices ou inverte o sistema linear para obter desigualdades em x,y.
Se T é não linear, pode-se analisar a imagem da fronteira (linhas/curvas que limitam S) e/ou expressar u,v em função de x,y para obter a descrição do conjunto imagem.
Essas quatro desigualdades descrevem o mesmo paralelogramo em (x,y).
Passo 8
(b)(ii) S é o quadrado 0\le u\le 1,\;0\le v\le 1 e x=v,\; y=u(1+v^{2}).
Observar que x=v. Como v\in[0,1] segue que x\in[0,1].
Para um v fixo (ou seja, x fixo), u varia de 0 a 1 e y=u(1+v^{2}) varia linearmente entre 0 e 1+v^{2}. Substituindo v=x obtemos, para cada x\in[0,1], que
0\le y\le 1+x^{2}.
Assim a imagem é o conjunto dos pontos (x,y) com
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1+x^{2}.
Geometricamente: é a região no plano entre o eixo x e a curva y=1+x^{2}, restrita ao intervalo 0\le x\le 1.
Observação didática: é comum com transformações desse tipo “uma variável vira a coordenada horizontal” (aqui x=v) e a outra escala verticalmente; por isso o intervalo de u transforma-se em um intervalo vertical cujo tamanho depende de x.
Passo 9
(b)(iii) S:\;u^{2}+v^{2}\le 1,\; x=au,\; y=bv.
Escrever u e v em termos de x,y (assumindo a\neq 0,\; b\neq 0 para inversibilidade simples):
Portanto a imagem T(S) é o elipse (ou disco alongado) centrado na origem descrito por
\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}\le 1.
Geometricamente: semi-eixo na direção x tem comprimento |a| e na direção y tem comprimento |b|. Observação: se algum dos parâmetros a ou b for zero a imagem será degenerada (um segmento ou ponto), mas para a,b\neq 0 é exatamente a elipse acima.
(b)(i) A imagem é o paralelogramo com vértices (0,0),\,(6,3),\,(6,-2),\,(12,1). Equivalentemente, o conjunto de (x,y) tais que 0\le x+3y\le 15 e 0\le x-2y\le 10.
(b)(ii) A imagem é \{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1+x^{2}\}.
(b)(iii) A imagem é a elipse \displaystyle \left\{(x,y)\mid \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}\le 1\right\}.