Determine o jacobiano da transformação:
(a) Nos casos a seguir:
i) x=5 u-v, y=u+3 v.
ii) x=u v, y=u / v.
iii) x=v+w^{2}, y=w+u^{2}, z=u+v^{2}.
(b) Determine a imagem sobre a transformação T :
i) S=\{(u, v) \mid 0 \leq u \leq 3,0 \leq v \leq 2\} ; x=2 u+3 v, y=u-v.
ii) S é o quadrado limitado pelas retas u=0, u=1, v=0, v=1 ; x=v, y=u\left(1+v^{2}\right).
iii) S é o disco dado por u^{2}+v^{2} \leq 1 ; x=a u, y=b v.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Calcular o jacobiano das transformações dadas nos três casos:
  • (i) x=5u-v,\; y=u+3v.
  • (ii) x=uv,\; y=\dfrac{u}{v}.
  • (iii) x=v+w^{2},\; y=w+u^{2},\; z=u+v^{2}.
(b) Determinar a imagem da transformação T para três situações (cada uma com o domínio S e a regra de transformação):
  • (i) S=\{(u,v)\mid 0\le u\le3,\;0\le v\le2\},\; x=2u+3v,\; y=u-v.
  • (ii) S é o quadrado limitado por u=0,\;u=1,\;v=0,\;v=1,\; x=v,\; y=u(1+v^{2}).
  • (iii) S é o disco u^{2}+v^{2}\le 1,\; x=au,\; y=bv.
Informações relevantes fornecidas (já peguei do enunciado):
  • As fórmulas das transformações em (a)(i)-(iii) e (b)(i)-(iii).
  • Os domínios S para os itens de (b).

Passo 2

O que é o jacobiano e como vamos calculá-lo (aula rápida):
  • Para uma transformação de duas variáveis (u,v)\mapsto(x(u,v),y(u,v)) o jacobiano é a determinante da matriz das derivadas parciais:
J(u,v)=\det\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}
Significado prático: J indica o fator (orientado) de escala de áreas locais provocado pela transformação. Se J é constante a transformação é afim/linear em termos de área; se muda com (u,v), a escala varia no domínio.
  • Para três variáveis (u,v,w)\mapsto(x,y,z) usamos a matriz 3\times3 das derivadas parciais e o jacobiano é sua determinante:
J(u,v,w)=\det\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w}\\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w}\\[6pt] \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w} \end{pmatrix}
Vou aplicar estas definições passo a passo nos itens de (a).]

Passo 3

(a)(i) Calcular o jacobiano de x=5u-v,\; y=u+3v.
  1. Calcular as derivadas parciais (cada derivada é simples porque são funções lineares):
\dfrac{\partial x}{\partial u}=5,\qquad \dfrac{\partial x}{\partial v}=-1,
\dfrac{\partial y}{\partial u}=1,\qquad \dfrac{\partial y}{\partial v}=3.
  1. Montar a matriz jacobiana 2\times2 e calcular o determinante:
J(u,v)=\det\begin{pmatrix}5 & -1\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix} =5\cdot 3 - (-1)\cdot 1 =15+1 =16.
Conclusão: o jacobiano é constante igual a 16. Observação didática: como é constante a transformação é afim e localmente multiplica áreas por 16 (com inversão de orientação se o determinante fosse negativo; aqui é positivo).]

Passo 4

(a)(ii) Calcular o jacobiano de x=uv,\; y=\dfrac{u}{v}.
  1. Calcular as derivadas parciais (atenção: v\neq 0 porque aparece divisão por v):
\dfrac{\partial x}{\partial u}=v,\qquad \dfrac{\partial x}{\partial v}=u,
\dfrac{\partial y}{\partial u}=\dfrac{1}{v},\qquad \dfrac{\partial y}{\partial v}=-\dfrac{u}{v^{2}}.
  1. Calcular o determinante 2\times2:
J(u,v)=\det\begin{pmatrix} v & u\\[4pt] \dfrac{1}{v} & -\dfrac{u}{v^{2}} \end{pmatrix} = v\left(-\dfrac{u}{v^{2}}\right) - u\left(\dfrac{1}{v}\right).
  1. Simplificar:
v\left(-\dfrac{u}{v^{2}}\right) = -\dfrac{u}{v}, \qquad u\left(\dfrac{1}{v}\right)=\dfrac{u}{v},
portanto
J(u,v)=-\dfrac{u}{v}-\dfrac{u}{v}=-\dfrac{2u}{v}.
Conclusão: \displaystyle J(u,v)=-\dfrac{2u}{v} para v\neq 0. Observação didática: sinal negativo indica que a transformação inverte orientação localmente quando u/v>0; o módulo \dfrac{2|u|}{|v|} é o fator de escala de área.]

Passo 5

(a)(iii) Calcular o jacobiano de x=v+w^{2},\; y=w+u^{2},\; z=u+v^{2}.
  1. Calcular todas as derivadas parciais (organizo por linhas correspondendo a x,y,z e colunas a u,v,w):
\dfrac{\partial x}{\partial u}=0,\quad \dfrac{\partial x}{\partial v}=1,\quad \dfrac{\partial x}{\partial w}=2w,
\dfrac{\partial y}{\partial u}=2u,\quad \dfrac{\partial y}{\partial v}=0,\quad \dfrac{\partial y}{\partial w}=1,
\dfrac{\partial z}{\partial u}=1,\quad \dfrac{\partial z}{\partial v}=2v,\quad \dfrac{\partial z}{\partial w}=0.
  1. Montar a matriz jacobiana 3\times3:
J=\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2w\\[4pt] 2u & 0 & 1\\[4pt] 1 & 2v & 0 \end{pmatrix}.
  1. Calcular o determinante por expansão (expansão pela primeira linha, por exemplo):
J = 0\cdot(\cdots) - 1\cdot\det\begin{pmatrix}2u & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} + 2w\cdot\det\begin{pmatrix}2u & 0\\[4pt] 1 & 2v\end{pmatrix}.
Calcular cada menor:
\det\begin{pmatrix}2u & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=2u\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1,
\det\begin{pmatrix}2u & 0\\[4pt] 1 & 2v\end{pmatrix}=2u\cdot 2v - 0\cdot 1 = 4uv.
Então
J = -1\cdot(-1) + 2w\cdot 4uv = 1 + 8uvw.
Conclusão: \displaystyle J(u,v,w)=1+8uvw.]

Passo 6

Transição para a parte (b): o objetivo é descrever a imagem T(S)=\{(x,y)\mid (x,y)=T(u,v)\text{ com }(u,v)\in S\}. Método geral (explicação breve):
  • Se T é linear/afim, a imagem de um retângulo/quadrado é um paralelogramo; calcula-se as imagens dos vértices ou inverte o sistema linear para obter desigualdades em x,y.
  • Se T é não linear, pode-se analisar a imagem da fronteira (linhas/curvas que limitam S) e/ou expressar u,v em função de x,y para obter a descrição do conjunto imagem.
Vou aplicar essas ideias item por item.

Passo 7

(b)(i) S=\{0\le u\le3,\;0\le v\le2\},\; x=2u+3v,\; y=u-v.
  1. Como T é afim linear, a imagem de um retângulo é um paralelogramo. Calculo as imagens dos quatro vértices de S:
(0,0)\mapsto (x,y)=(0,0),
(3,0)\mapsto (x,y)=(2\cdot 3+3\cdot 0,\;3-0)=(6,3),
(0,2)\mapsto (x,y)=(2\cdot 0+3\cdot 2,\;0-2)=(6,-2),
(3,2)\mapsto (x,y)=(2\cdot 3+3\cdot 2,\;3-2)=(12,1).
  1. Logo a imagem T(S) é o paralelogramo com vértices
(0,0),\quad (6,3),\quad (6,-2),\quad (12,1).
  1. Alternativamente, invertendo o sistema linear (útil para escrever desigualdades em x,y): resolver
x=2u+3v,\qquad y=u-v.
Da segunda u=y+v. Substituindo em x obtém-se x=2(y+v)+3v=2y+5v, assim
v=\dfrac{x-2y}{5},\qquad u=\dfrac{x+3y}{5}.
As restrições 0\le u\le 3,\;0\le v\le 2 tornam-se:
0\le \dfrac{x+3y}{5}\le 3 \quad\Rightarrow\quad 0\le x+3y\le 15,
0\le \dfrac{x-2y}{5}\le 2 \quad\Rightarrow\quad 0\le x-2y\le 10.
Essas quatro desigualdades descrevem o mesmo paralelogramo em (x,y).

Passo 8

(b)(ii) S é o quadrado 0\le u\le 1,\;0\le v\le 1 e x=v,\; y=u(1+v^{2}).
  1. Observar que x=v. Como v\in[0,1] segue que x\in[0,1].
  2. Para um v fixo (ou seja, x fixo), u varia de 0 a 1 e y=u(1+v^{2}) varia linearmente entre 0 e 1+v^{2}. Substituindo v=x obtemos, para cada x\in[0,1], que
0\le y\le 1+x^{2}.
  1. Assim a imagem é o conjunto dos pontos (x,y) com
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1+x^{2}.
Geometricamente: é a região no plano entre o eixo x e a curva y=1+x^{2}, restrita ao intervalo 0\le x\le 1.
Observação didática: é comum com transformações desse tipo “uma variável vira a coordenada horizontal” (aqui x=v) e a outra escala verticalmente; por isso o intervalo de u transforma-se em um intervalo vertical cujo tamanho depende de x.

Passo 9

(b)(iii) S:\;u^{2}+v^{2}\le 1,\; x=au,\; y=bv.
  1. Escrever u e v em termos de x,y (assumindo a\neq 0,\; b\neq 0 para inversibilidade simples):
u=\dfrac{x}{a},\qquad v=\dfrac{y}{b}.
  1. Substituir na equação do disco:
\left(\dfrac{x}{a}\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{b}\right)^{2}\le 1.
  1. Portanto a imagem T(S) é o elipse (ou disco alongado) centrado na origem descrito por
\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}\le 1.
Geometricamente: semi-eixo na direção x tem comprimento |a| e na direção y tem comprimento |b|. Observação: se algum dos parâmetros a ou b for zero a imagem será degenerada (um segmento ou ponto), mas para a,b\neq 0 é exatamente a elipse acima.

Resposta

(a)(i) J(u,v)=16
(a)(ii) J(u,v)=-\dfrac{2u}{v} (para v\neq 0)
(a)(iii) J(u,v,w)=1+8uvw
(b)(i) A imagem é o paralelogramo com vértices (0,0),\,(6,3),\,(6,-2),\,(12,1). Equivalentemente, o conjunto de (x,y) tais que 0\le x+3y\le 15 e 0\le x-2y\le 10.
(b)(ii) A imagem é \{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1+x^{2}\}.
(b)(iii) A imagem é a elipse \displaystyle \left\{(x,y)\mid \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}\le 1\right\}.

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