Obtenha os seguintes limites usado a Regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow \infty} x e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty} x\,e^{-3x}
usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo da matéria é limites de funções que apresentam forma indeterminada do tipo \infty\cdot0. Para aplicar a regra, precisamos reescrever o produto como quociente.

Passo 2

Observamos que
x\,e^{-3x} = \frac{x}{e^{3x}}.
Nesta nova forma temos um limite do tipo \frac{\infty}{\infty}, já pronto para usar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

Pela Regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador:
– Numerador: \frac{d}{dx}[x]=1.
– Denominador: \frac{d}{dx}[e^{3x}]=3e^{3x}.
Portanto,
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{3x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{3e^{3x}}.

Passo 4

Agora, ao fazermos x\to\infty em \frac{1}{3e^{3x}}, o denominador cresce sem limite, então o quociente tende a zero.

Resposta

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