Calcule as integrais iteradas.
\int_{2}^{1} \int_{0}^{1} x^{2} y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{2}^{1}\int_{0}^{1} x^{2}y \, dx \, dy.
Informações dadas:
  • A integral interna é em x com limites x=0 até x=1.
  • A integral externa é em y com limites y=2 até y=1.
  • O integrando é x^{2}y.
    Não vou resolver nada aqui ainda — só deixei claro o que é pedido e os dados.

Passo 2

Entendendo o que fazer: numa integral iterada \int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y)\,dx\,dy fazemos primeiro a integral interna em x (mantendo y fixa), e depois a integral em y. Aqui, y é constante quando integramos em x. Então vou calcular
\int_{0}^{1} x^{2}y \, dx.

Passo 3

Fato útil (fórmula): para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso n=2, então \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}. Como y é constante em relação a x, podemos fatorar y para fora da integral:
\int_{0}^{1} x^{2}y \, dx = y\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = y\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}.

Passo 4

Avalio o antiderivado nos limites 0 e 1:
\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}.
Portanto a integral interna vale
\int_{0}^{1} x^{2}y \, dx = y\cdot\frac{1}{3} = \frac{y}{3}.

Passo 5

Agora substituo esse resultado na integral externa. Temos:
\int_{2}^{1}\int_{0}^{1} x^{2}y \, dx \, dy = \int_{2}^{1} \frac{y}{3} \, dy.
Posso tirar o fator constante \dfrac{1}{3}:
\int_{2}^{1} \frac{y}{3} \, dy = \frac{1}{3}\int_{2}^{1} y \, dy.

Passo 6

Calculo a integral de y. Usando a mesma fórmula com n=1, \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}. Então
\int_{2}^{1} y \, dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{2}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-\frac{2^{2}}{2} = \frac{1}{2}-\frac{4}{2} = -\frac{3}{2}.
Observação didática: o resultado ficou negativo porque os limites externos estão “invertidos” ( 2 é maior que 1). Lembre-se da propriedade \displaystyle\int_{a}^{b} f = -\int_{b}^{a} f.

Passo 7

Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3}:
\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{1}{2}.
Então a integral iterada vale -\dfrac{1}{2}.

Resposta

-\frac{1}{2}

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