(1,0 ponto) Classifique as equações diferenciais abaixo (ordem, linearidade, homogênea/ não homogênea):
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a classifiquemos quanto a:
- ordem;
- linearidade;
- homogênea ou não homogênea.
As informações relevantes que temos são as derivadas presentes (
,
), os coeficientes que aparecem multiplicando
e suas derivadas (aqui aparecem funções de
, por exemplo
multiplica
) e o termo à direita
.
Passo 2
Ordem: vamos lembrar o que significa ordem de uma equação diferencial. A ordem é a maior ordem de derivada da incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se a equação contém
então sua ordem é
.
Na equação dada o termo de maior ordem é
(segunda derivada). Logo a ordem da equação é
.
Passo 3
Linearidade: vou explicar o que é uma equação diferencial linear de forma bem prática. Uma equação diferencial é linear se a incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções do independente (aqui
) e somadas, sem produtos entre
e
, sem potências como
ou
, e sem funções não lineares de
(como
,
, etc.). Em forma de operador linear de segunda ordem escrevemos
No nosso caso podemos identificar
pois a equação pode ser escrita como
. Note que
depende de
, mas isso não quebra a linearidade: coeficientes podem ser funções de
. Não há termos como
,
ou
. Portanto a equação é linear.
Um exemplo contrastante:
é não linear porque existe
.
Passo 4
Homogênea / não homogênea: para uma equação linear, dizemos que ela é homogênea se o segundo membro (o termo independente de
) é zero. Ou seja, a forma homogênea associada é
Se o lado direito for diferente de zero, chamamos a equação de não homogênea (ou inhomogênea) e o termo do lado direito é chamado termo fonte ou forçamento.
Na equação dada o lado direito é
, que não é zero. Portanto a equação é não homogênea. A equação homogênea associada seria
Passo 5
Observação sobre coeficientes: como mencionado em Passo 3, os coeficientes que multiplicam
,
,
dependem de
(pelo menos
depende de
). Isso significa que a equação é de coeficientes não constantes (ou coeficientes variáveis). Se todos os
fossem constantes diríamos que é de coeficientes constantes.
Passo 6
Resumo didático rápido para a prova: ao classificar uma ED verifique em ordem:
- qual a maior derivada presente → ordem;
- se
e suas derivadas aparecem apenas linearmente (sem produtos entre derivadas, sem potências ou funções não-lineares de ) → linearidade; - se o termo à direita é zero → homogênea, senão → não homogênea.
Aplique isso diretamente à equação dada e você terá a classificação correta.
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear (coeficientes dependem de , ou seja, coeficientes não constantes)
Homogeneidade: não homogênea (termo fonte )
Linearidade: linear (coeficientes dependem de
Homogeneidade: não homogênea (termo fonte