(1,0 ponto) Classifique as equações diferenciais abaixo (ordem, linearidade, homogênea/ não homogênea):
y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+y=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + x\,y' + y = x^{2}
e pede que a classifiquemos quanto a:
  • ordem;
  • linearidade;
  • homogênea ou não homogênea.
As informações relevantes que temos são as derivadas presentes ( y', y''), os coeficientes que aparecem multiplicando y e suas derivadas (aqui aparecem funções de x, por exemplo x multiplica y') e o termo à direita x^{2}.

Passo 2

Ordem: vamos lembrar o que significa ordem de uma equação diferencial. A ordem é a maior ordem de derivada da incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se a equação contém y^{(3)} então sua ordem é 3.
Na equação dada o termo de maior ordem é y'' (segunda derivada). Logo a ordem da equação é 2.

Passo 3

Linearidade: vou explicar o que é uma equação diferencial linear de forma bem prática. Uma equação diferencial é linear se a incógnita y e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções do independente (aqui x) e somadas, sem produtos entre y e y', sem potências como y^{2} ou (y')^{3}, e sem funções não lineares de y (como \sin(y), e^{y}, etc.). Em forma de operador linear de segunda ordem escrevemos
L[y] = a_{2}(x)\,y'' + a_{1}(x)\,y' + a_{0}(x)\,y.
No nosso caso podemos identificar
a_{2}(x)=1,\qquad a_{1}(x)=x,\qquad a_{0}(x)=1,
pois a equação pode ser escrita como 1\cdot y'' + x\cdot y' + 1\cdot y = x^{2}. Note que a_{1} depende de x, mas isso não quebra a linearidade: coeficientes podem ser funções de x. Não há termos como y^{2}, y\,y' ou \sin(y). Portanto a equação é linear.
Um exemplo contrastante: y'' + (y')^{2}=0 é não linear porque existe (y')^{2}.

Passo 4

Homogênea / não homogênea: para uma equação linear, dizemos que ela é homogênea se o segundo membro (o termo independente de y) é zero. Ou seja, a forma homogênea associada é
a_{2}(x)\,y'' + a_{1}(x)\,y' + a_{0}(x)\,y = 0.
Se o lado direito for diferente de zero, chamamos a equação de não homogênea (ou inhomogênea) e o termo do lado direito é chamado termo fonte ou forçamento.
Na equação dada o lado direito é x^{2}, que não é zero. Portanto a equação é não homogênea. A equação homogênea associada seria
y'' + x\,y' + y = 0.

Passo 5

Observação sobre coeficientes: como mencionado em Passo 3, os coeficientes que multiplicam y, y', y'' dependem de x (pelo menos a_{1}(x)=x depende de x). Isso significa que a equação é de coeficientes não constantes (ou coeficientes variáveis). Se todos os a_{i} fossem constantes diríamos que é de coeficientes constantes.

Passo 6

Resumo didático rápido para a prova: ao classificar uma ED verifique em ordem:
  1. qual a maior derivada presente → ordem;
  2. se y e suas derivadas aparecem apenas linearmente (sem produtos entre derivadas, sem potências ou funções não-lineares de y) → linearidade;
  3. se o termo à direita é zero → homogênea, senão → não homogênea.
    Aplique isso diretamente à equação dada e você terá a classificação correta.

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: linear (coeficientes dependem de x, ou seja, coeficientes não constantes)
Homogeneidade: não homogênea (termo fonte x^{2})

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