Lembre que
e
. Em cada um dos Problemas de 7 a 10 , encontre a transformada de Laplace da função dada;
e
são constantes reais.
9.
9.
Passo 1
O problema pede para encontrar a transformada de Laplace da função
, onde
e
são constantes reais. As informações relevantes do enunciado são:
- A definição dada de
: . - Queremos
(a transformada de Laplace).
Não vou resolver nada neste passo; só listei o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Vamos recordar a definição da transformada de Laplace e uma fórmula básica que vamos usar muito:
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é uma variável complexa; para a integral convergir precisamos de condições do tipo
maior que certa constante.
- Fórmula básica (que provamos integrando): para uma constante
real,
desde que
, i.e.
.
Explico: usamos a integral de uma exponencial decrescente quando
. Aqui
.
Explico: usamos a integral de uma exponencial decrescente
Passo 3
Agora usamos a identidade fornecida para escrever
em termos de exponenciais:
Substituindo em
obtemos
Isto transforma o problema em somar transformadas de funções exponenciais simples — ótimo, porque sabemos a transformada de
.
Passo 4
A transformada de Laplace é linear, ou seja,
para constantes
. Aplicando essa linearidade a
escrita como soma:
Passo 5
Usamos a fórmula da transformada de uma exponencial (do Passo 2). Para
e
temos
com as condições de convergência
e
, respectivamente. Portanto
Passo 6
Vamos simplificar essa soma de frações. Primeiro somamos os dois termos com denominador comum:
Agora desenvolvemos o numerador:
Então a expressão vira
Passo 7
Observação: o denominador pode ser reescrito usando identidade de diferença de quadrados. Note que
Assim a forma simplificada e elegante da transformada é
Passo 8
Precisamos dizer também para quais valores de
a transformada existe (região de convergência). Como vimos, a integral exige
Portanto a fórmula é válida para
.