Lembre que cosh b t=\left(e^{b t}+e^{-b t}\right) / 2 e \operatorname{senh} b t=\left(e^{b t}-e^{-b t}\right) / 2. Em cada um dos Problemas de 7 a 10 , encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais.
9. f(t)=e^{a t} \operatorname{cosh} b t

Passo 1

O problema pede para encontrar a transformada de Laplace da função \;f(t)=e^{a t}\operatorname{cosh} b t\;, onde a e b são constantes reais. As informações relevantes do enunciado são:
  • A definição dada de \operatorname{cosh} b t: \displaystyle \operatorname{cosh} b t=\frac{e^{b t}+e^{-b t}}{2}.
  • Queremos \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt (a transformada de Laplace).
    Não vou resolver nada neste passo; só listei o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Vamos recordar a definição da transformada de Laplace e uma fórmula básica que vamos usar muito:
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função g(t) é
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} g(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa; para a integral convergir precisamos de condições do tipo \operatorname{Re}(s) maior que certa constante.
  • Fórmula básica (que provamos integrando): para uma constante c real,
\mathcal{L}\{e^{c t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{c t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-c)t}\,dt=\frac{1}{s-c},
desde que \operatorname{Re}(s-c)>0, i.e. \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}\text{(c)}.
Explico: usamos a integral de uma exponencial decrescente \int_{0}^{\infty} e^{-k t}\,dt=1/k quando \operatorname{Re}(k)>0. Aqui k=s-c.

Passo 3

Agora usamos a identidade fornecida para escrever \operatorname{cosh} b t em termos de exponenciais:
\operatorname{cosh} b t=\frac{e^{b t}+e^{-b t}}{2}.
Substituindo em f(t) obtemos
f(t)=e^{a t}\operatorname{cosh} b t=e^{a t}\cdot\frac{e^{b t}+e^{-b t}}{2}=\frac{1}{2}\left(e^{(a+b)t}+e^{(a-b)t}\right).
Isto transforma o problema em somar transformadas de funções exponenciais simples — ótimo, porque sabemos a transformada de e^{c t}.

Passo 4

A transformada de Laplace é linear, ou seja,
\mathcal{L}\{\alpha g(t)+\beta h(t)\}(s)=\alpha \mathcal{L}\{g(t)\}(s)+\beta \mathcal{L}\{h(t)\}(s),
para constantes \alpha,\beta. Aplicando essa linearidade a f(t) escrita como soma:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{(a+b)t}\}(s)+\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{(a-b)t}\}(s).

Passo 5

Usamos a fórmula da transformada de uma exponencial (do Passo 2). Para c=a+b e c=a-b temos
\mathcal{L}\{e^{(a+b)t}\}(s)=\frac{1}{s-(a+b)},\qquad \mathcal{L}\{e^{(a-b)t}\}(s)=\frac{1}{s-(a-b)},
com as condições de convergência \operatorname{Re}(s)>\!a+b e \operatorname{Re}(s)>\!a-b, respectivamente. Portanto
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-(a+b)}+\frac{1}{s-(a-b)}\right).

Passo 6

Vamos simplificar essa soma de frações. Primeiro somamos os dois termos com denominador comum:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-(a+b)}+\frac{1}{s-(a-b)}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s-(a-b))+(s-(a+b))}{(s-(a+b))(s-(a-b))}.
Agora desenvolvemos o numerador:
(s-(a-b))+(s-(a+b))=s-a+b+s-a-b=2(s-a).
Então a expressão vira
\frac{1}{2}\cdot\frac{2(s-a)}{(s-(a+b))(s-(a-b))}=\frac{s-a}{(s-(a+b))(s-(a-b))}.

Passo 7

Observação: o denominador pode ser reescrito usando identidade de diferença de quadrados. Note que
(s-(a+b))(s-(a-b))=(s-a-b)(s-a+b)=(s-a)^2-b^2.
Assim a forma simplificada e elegante da transformada é
\mathcal{L}\{e^{a t}\operatorname{cosh} b t\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^2-b^2}.

Passo 8

Precisamos dizer também para quais valores de s a transformada existe (região de convergência). Como vimos, a integral exige
\operatorname{Re}(s)>\max(a+b,\;a-b)=a+|b|.
Portanto a fórmula é válida para \operatorname{Re}(s)>a+|b|.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{a t}\operatorname{cosh} b t\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^2-b^2}
\text{Região de convergência: }\operatorname{Re}(s)>a+|b|ãê

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