Encontre o jacobiano \partial(x, y, z) / \partial(u, v, w), para:
x=3 u+v, y=u-2 w, z=v+w

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o jacobiano \displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} para as transformações
x=3u+v,\qquad y=u-2w,\qquad z=v+w.
Informações fornecidas: as expressões de x,y,z em função de u,v,w. A resposta esperada é um número (o determinante da matriz dos parciais), pois temos três variáveis de saída e três variáveis de entrada.

Passo 2

Definição e interpretação do jacobiano (passo-a-passo didático): o jacobiano \displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} é o determinante da matriz cujas entradas são as derivadas parciais de x,y,z em relação a u,v,w. Em notação,
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w}\\[4pt] \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{pmatrix}.
O que cada termo significa: por exemplo \frac{\partial x}{\partial u} é a taxa de variação de x quando só u varia, mantendo v,w fixos. Como as funções dadas são lineares, essas derivadas são constantes.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais da primeira linha (para x=3u+v):
\frac{\partial x}{\partial u}=3,\qquad \frac{\partial x}{\partial v}=1,\qquad \frac{\partial x}{\partial w}=0.
Explicação rápida: derivada de 3u em relação a u é 3; v é tratado como constante para \partial/\partial u, mas para \partial x/\partial v a derivada de v é 1; w não aparece em x, então \partial x/\partial w=0.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais da segunda linha (para y=u-2w) e terceira linha (para z=v+w):
\frac{\partial y}{\partial u}=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=0,\qquad \frac{\partial y}{\partial w}=-2.
\frac{\partial z}{\partial u}=0,\qquad \frac{\partial z}{\partial v}=1,\qquad \frac{\partial z}{\partial w}=1.
Explicação: procede-se igual ao passo anterior, tratando as outras variáveis como constantes.

Passo 5

Montar a matriz jacobiana com essas derivadas:
J= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular o determinante da matriz J. Vou usar expansão por cofatores na primeira linha (ou você pode usar Sarrus):
\det J = 3\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} +0\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Agora calcular os determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} = 0\cdot 1 - (-2)\cdot 1 = 2,
\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot 1 - (-2)\cdot 0 = 1.
Substituindo:
\det J = 3\cdot 2 - 1\cdot 1 + 0 = 6 - 1 = 5.
Interpretação rápida: como a transformação é linear, esse número 5 é o fator de escala de volumes (um paralelepípedo pequeno em (u,v,w) tem volume multiplicado por 5 em (x,y,z)).]

Resposta

5

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