Encontre o jacobiano \partial(x, y, z) / \partial(u, v, w), para:
x=3 u+v, y=u-2 w, z=v+w
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o jacobiano \displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} para as transformações
x=3u+v,\qquad y=u-2w,\qquad z=v+w.
Informações fornecidas: as expressões de x,y,z em função de u,v,w. A resposta esperada é um número (o determinante da matriz dos parciais), pois temos três variáveis de saída e três variáveis de entrada.
Passo 2
Definição e interpretação do jacobiano (passo-a-passo didático): o jacobiano \displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} é o determinante da matriz cujas entradas são as derivadas parciais de x,y,z em relação a u,v,w. Em notação,
O que cada termo significa: por exemplo \frac{\partial x}{\partial u} é a taxa de variação de x quando só u varia, mantendo v,w fixos. Como as funções dadas são lineares, essas derivadas são constantes.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais da primeira linha (para x=3u+v):
Explicação rápida: derivada de 3u em relação a u é 3; v é tratado como constante para \partial/\partial u, mas para \partial x/\partial v a derivada de v é 1; w não aparece em x, então \partial x/\partial w=0.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais da segunda linha (para y=u-2w) e terceira linha (para z=v+w):
Interpretação rápida: como a transformação é linear, esse número 5 é o fator de escala de volumes (um paralelepípedo pequeno em (u,v,w) tem volume multiplicado por 5 em (x,y,z)).]