Calcule as integrais iteradas:
integral duplaD x^3 y^4 d A em que D é a região delimitada por x=0, x=4, y=-x+1 e y=2 x+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaD x^3y^4,dA
onde D é a região do plano limitada pelas retas
x=0, x=4, y=-x+1, y=2x+1
O conteúdo aqui é calcular uma integral dupla sobre região tipo I, isto é, expressar y em função de x e integrar iteradamente.

Passo 2

Para cada x entre 0 e 4, a reta inferior é y=-x+1 e a superior é y=2x+1. Logo configuramos
integral duplaD x^3y^4,dA =integralx=0^4l[integraly=-x+1^2x+1 x^3y^4,dyr]dx

Passo 3

Dentro da integral interna, x^3 é constante em y. Então
integraly=-x+1^2x+1 x^3y^4,dy = x^3integral-x+1^2x+1 y^4,dy = x^3l[y^55r]y=-x+1^y=2x+1 =x^35l[(2x+1)^5-(1-x)^5r]

Passo 4

Precisamos agora simplificar o polinômio
(2x+1)^5-(1-x)^5
Expandindo,
(2x+1)^5=32x^5+80x^4+80x^3+40x^2+10x+1,
(1-x)^5=1-5x+10x^2-10x^3+5x^4-x^5,
subtraindo vem
(2x+1)^5-(1-x)^5 =33x^5+75x^4+90x^3+30x^2+15x
Assim a integral em x fica
integral0^4x^35l(33x^5+75x^4+90x^3+30x^2+15xr),dx =15integral0^4l(33x^8+75x^7+90x^6+30x^5+15x^4r),dx

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral0^433x^8,dx =33x^99|0^4, integral0^475x^7,dx =75x^88|0^4,
integral0^490x^6,dx =90x^77|0^4, integral0^430x^5,dx =30x^66|0^4, integral0^415x^4,dx =15x^55|0^4
Substituindo x=4 em cada termo e somando, obtém-se
15l[3394^9+7584^8+9074^7+5cdot4^6+3cdot4^5r] =38,005,760105

Resposta

integral duplaD x^3y^4,dA =38,005,760105

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