Resolva os limites abaixo. Utilize a regra de L’Hospital quando possível e, quando não, explique por que não pode usar-la;
lim x infty(2 x-32 x-5)^2 x+1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limxtoinftyl(2x-32x-5r)^2x+1
Perceba que, para xtoinfty, o quociente tfrac2x-32x-5to1 e o expoente 2x+1toinfty, caracterizando uma indeterminação do tipo 1^infty. A estratégia clássica é passar para a forma
expl(lim (2x+1)lnl(tfrac2x-32x-5r)r)

Passo 2

Definimos
L = limxtoinftyl(2x-32x-5r)^2x+1
e tomamos logaritmo natural:
ln L = limxtoinfty(2x+1),lnl(2x-32x-5r)

Passo 3

Reescrevemos o argumento do logaritmo como
2x-32x-5 =1 + 22x-5,
portanto
ln L = limxtoinfty(2x+1),ln!l(1 + 22x-5r),
uma indeterminação do tipo inftycdot0.

Passo 4

Para usar a regra de L’Hospital, transformamos o produto em quociente:
ln L = limxtoinfty lnl(1+22x-5r)12x+1,
que é 0/0. Derivando numerador e denominador:
ddxl[ln(1+tfrac22x-5)r] = 11+tfrac22x-5cdotl(-4(2x-5)^2r), ddxl[tfrac12x+1r] = -2(2x+1)^2
O quociente dessas derivadas tende a
-4(2x-5)^211+2/(2x-5) -2(2x+1)^2 ;longrightarrow;2
Logo ln L=2.

Passo 5

Daí L = e^ln L = e^2.

Resposta

e^2

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