Em cada um dos seguintes casos encontre f^prime(x) e f^prime prime(x).
f(x)=arctan (2 x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primeira e a segunda derivada de
f(x)=arctanl(2x^2+1r).
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia (para derivar a função composta arctan(u)) e, no caso da segunda derivada, a regra do quociente ou de produt o+cadeia.

Passo 2

Para achar f'(x) usamos que, se
f(x)=arctanl(u(x)r),
então
f'(x)=u'(x)1+l(u(x)r)^2
Aqui u(x)=2x^2+1 e u'(x)=4x. Logo,
f'(x) =4x1+(2x^2+1)^2

Passo 3

Agora derivamos f'(x). É conveniente escrever o denominador como
D(x)=1+(2x^2+1)^2=4x^4+4x^2+2,
então
f'(x)=4xD(x)
Pela regra do quociente,
f''(x) =4cdot D(x)-4xcdot D'(x)[D(x)]^2 com D'(x)=16x^3+8x
Substituindo,
num &=4,(4x^4+4x^2+2)-4x,(16x^3+8x) &=16x^4+16x^2+8-64x^4-32x^2 &=-48x^4-16x^2+8=-8l(6x^4+2x^2-1r)
Portanto,
f''(x) =-8l(6x^4+2x^2-1r)l(4x^4+4x^2+2r)^2

Resposta

f'(x)= 4x1+(2x^2+1)^2 f''(x)= -8l(6x^4+2x^2-1r)l(4x^4+4x^2+2r)^2

Exercícios relacionados