Questão 5) (2,0) Calcule a integral tripla
integral triplaE 32 z(x^2+y^2) d V
onde E é o paralelepípedo (x, y, z) mid-1 <= x <= 2,0 <= y <= 2,1 <= z <= x. ATENÇÃO Respostas sem justificativas matemáticas não serão aceitas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaE32,zl(x^2+y^2r),dV
onde
E=(x,y,z)mid -1<= x<=2,;0<= y<=2,;1<= z<= x
Este é um problema de integrais triplas em coordenadas cartesianas, em que devemos identificar corretamente os limites de integração e depois integrar em cada variável.

Passo 2

Observando o limite 1<= z<= x, vemos que só existe região não-vazia se x>=1. Para x<1 não há valores de z tais que 1<= z<= x. Logo a parte ativa em x é de 1 a 2, mantendo yin[0,2] e zin[1,x]. Assim podemos escrever
integral triplaE32,z(x^2+y^2),dV =integralx=1^2;integraly=0^2;integralz=1^x32,zl(x^2+y^2r),dz,dy,dx

Passo 3

Integramos primeiro em z, tratando x e y como constantes:
integralz=1^x32,z,(x^2+y^2),dz =32(x^2+y^2)integral1^xz,dz =32(x^2+y^2),x^2-12 =16,(x^2-1),(x^2+y^2)

Passo 4

Agora integramos em y:
integraly=0^216,(x^2-1),(x^2+y^2),dy =16(x^2-1)integral0^2l(x^2+y^2r),dy =16(x^2-1)l[2x^2+tfrac2^33r] =16(x^2-1)l(2x^2+tfrac83r)

Passo 5

Simplificamos o integrando antes de integrar em x:
16(x^2-1)l(2x^2+tfrac83r) =16l(2x^4-2x^2+tfrac83x^2-tfrac83r) =32x^4+tfrac323x^2-tfrac1283
Portanto resta calcular
integral1^2l(32x^4+tfrac323x^2-tfrac1283r),dx

Passo 6

Calculamos termo a termo:
integral1^232x^4,dx =32cdotx^55|1^2 =32cdot315 =9925,
integral1^2323x^2,dx =323cdotx^33|1^2 =323cdot73 =2249,
integral1^2-1283,dx =-1283,(2-1) =-1283
Somando tudo com denominador comum 45:
9925+2249-1283 =8928+1120-192045 =812845

Resposta

812845

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