Calcule as integrais iteradas:
integral duplaD 4 y x d A em que D é a região triangular com vértices (0,0),(1,2) e (3,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD4,y,x,dA
sobre a região triangular D de vértices (0,0), (1,2) e (3,0). O conteúdo aqui é integrar em coordenadas cartesianas, descrevendo primeiro a região e depois montando integrais iteradas.

Passo 2

Para descrever D, encontramos as equações das retas que formam seus lados:
entre (0,0) e (1,2): y=2x, entre (1,2) e (3,0): y=-x+3, base em y=0
Assim, para cada x em [0,3] o y varia de 0 até a reta superior, mas mudando em x=1.

Passo 3

Dividimos a integral em duas em x:
integral duplaD4xy,dA = integralx=0^1integraly=0^2x4xy,dy,dx ;+; integralx=1^3integraly=0^-x+34xy,dy,dx

Passo 4

Calculamos a primeira integral:
integral0^1l[integral0^2x4x,y,dyr]dx = integral0^14xcdot(2x)^22,dx = integral0^18x^3,dx = 8cdotx^44|0^1 = 2

Passo 5

Calculamos a segunda integral:
integral1^3l[integral0^-x+34x,y,dyr]dx = integral1^32x(-x+3)^2,dx
Como (-x+3)^2=x^2-6x+9, o integrando vira
2x(x^2-6x+9)=2x^3-12x^2+18x,
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integral1^3(2x^3-12x^2+18x),dx = l[tfracx^42-4x^3+9x^2r]1^3 = l(tfrac812-108+81r) - l(tfrac12-4+9r) = 8
Somando as duas partes, obtemos 2+8=10.

Resposta

10

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