Questão 7. Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
y=1-log (cos (x)) ; 0 <= x <= pi4

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por
y = 1 - logl(cos(x)r)
no intervalo 0 <= x <= pi4.
Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco
L = integrala^b raiz1 + l(y'(x)r)^2,dx
onde vamos precisar encontrar y'(x) e então calcular a integral.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de y. Do enunciado
y = 1 - logl(cos(x)r)
segue que
y' = -1cos(x)cdotl(-sin(x)r)
y' = tan(x)
Logo, o integrando da fórmula de comprimento de arco é
raiz1 + l(y'r)^2 = raiz1 + tan^2(x) = sec(x)

Passo 3

Substituindo na fórmula, obtemos
L = integral0^pi/4 sec(x),dx
Sabemos que
integral sec(x),dx = lnl|sec(x) + tan(x)r| + C
Portanto
L = l[lnlvertsec(x) + tan(x)rvertr]0^pi/4

Passo 4

Em x = tfracpi4 temos sec(pi/4)=raiz2 e tan(pi/4)=1, então
sec(tfracpi4) + tan(tfracpi4) = raiz2 + 1
Em x = 0 temos sec(0)=1 e tan(0)=0, então
sec(0) + tan(0) = 1
Logo
L = lnl(raiz2 + 1r) - ln(1) = lnl(raiz2 + 1r)

Resposta

lnl(raiz2 + 1r)

Exercícios relacionados