Será construído um campo de atletismo retangular, com x unidades de comprimento, tendo nas extremidades duas áreas semicirculares com raio r. O campo terá em volta uma pista para corrida com 400 m de extensão. Expresse a área da porção retangular do campo só em função de x ou só em função de r (a escolha é sua). Quais valores de x e de r dão à porção retangular maior área possível?

Passo 1

O enunciado descreve uma pista de atletismo formada por dois trechos retos de comprimento x e duas semicircunferências de raio r, de modo que o comprimento total da pista é 400 metros. Dentro dessa pista fica um campo retangular de largura 2r e comprimento x. Queremos expressar a área dessa parte retangular em função de uma única variável e depois determinar x e r que maximizem essa área. O conteúdo é otimização de função quadrática com restrição.

Passo 2

O comprimento total da pista é a soma de dois trechos retos e do contorno completo de um círculo de raio r. Logo,
2x + 2pi r = 400
Desse modo isolamos x:
x = 400 - 2pi r2 = 200 - pi r
A área A da porção retangular é base x vezes altura 2r, isto é,
A(r) = xcdot 2r = 2r,(200 - pi r) = 400r - 2pi r^2

Passo 3

Para encontrar o máximo de A(r), calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(r) = 400 - 4pi r = 0 Longrightarrow r = 4004pi = 100pi
Verificando que é máximo, notamos que A''(r) = -4pi < 0, confirmando um ponto de máximo.

Passo 4

Substituímos r = tfrac100pi na expressão de x:
x = 200 - pi!l(tfrac100pir) = 200 - 100 = 100

Resposta

Os valores que maximizam a área da porção retangular são
x = 100 m, r = 100pi m

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