Será construído um campo de atletismo retangular, com
unidades de comprimento, tendo nas extremidades duas áreas semicirculares com raio
. O campo terá em volta uma pista para corrida com 400 m de extensão. Expresse a área da porção retangular do campo só em função de
ou só em função de
(a escolha é sua). Quais valores de
e de
dão à porção retangular maior área possível?
Passo 1
O enunciado descreve uma pista de atletismo formada por dois trechos retos de comprimento
e duas semicircunferências de raio
, de modo que o comprimento total da pista é
metros. Dentro dessa pista fica um campo retangular de largura
e comprimento
. Queremos expressar a área dessa parte retangular em função de uma única variável e depois determinar
e
que maximizem essa área. O conteúdo é otimização de função quadrática com restrição.
Passo 2
O comprimento total da pista é a soma de dois trechos retos e do contorno completo de um círculo de raio
. Logo,
Desse modo isolamos
:
A área
da porção retangular é base
vezes altura
, isto é,
Passo 3
Para encontrar o máximo de
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Verificando que é máximo, notamos que
, confirmando um ponto de máximo.
Passo 4
Substituímos
na expressão de
:
Resposta
Os valores que maximizam a área da porção retangular são