Um fazendeiro planeja cercar um pasto retangular vizinho a um rio. O pasto deve conter 180000 metros quadrados para fornecer grama suficiente para o rebanho. Quais as dimensões do pasto para gastar a quantidade mínima de cerca se não há necessidade de cerca ao longo do rio?

Passo 1

O problema é de otimização: queremos cercar um terreno retangular de área 180000, m^2, usando a margem de um rio como um dos lados (logo não precisa de cerca nesse lado). Precisamos minimizar o comprimento de cerca usado em três lados (dois lados perpendiculares ao rio e um lado paralelo oposto ao rio). Vamos usar cálculo para encontrar as dimensões que minimizam essa cerca.

Passo 2

Definimos as variáveis:
  • Seja x a largura do terreno paralela ao rio (em metros).
  • Seja y a profundidade do terreno perpendicular ao rio (em metros).
    A condição de área fixa é
x ,y = 180000
O comprimento de cerca L necessário cobre dois trechos de comprimento y mais um trecho de comprimento x, ou seja,
L = x + 2y

Passo 3

Usamos a restrição de área para eliminar uma variável. Da área x,y = 180000 temos
x = 180000y
Substituindo em L,
L(y) = 180000y + 2y

Passo 4

Para minimizar L(y), calculamos a derivada e igualamos a zero:
L'(y) = -180000y^2 + 2 Longrightarrow -180000y^2 + 2 = 0 Longrightarrow 180000y^2 = 2 Longrightarrow y^2 = 90000 Longrightarrow y = 300

Passo 5

Podemos verificar que L''(y)>0 em y=300, garantindo mínimo local. Agora obtemos x via a área:
x = 180000300 = 600

Resposta

A configuração que minimiza a quantidade de cerca é
largura (para<=la ao rio);x = 600 m, profundidade;y = 300 m

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