Um fazendeiro planeja cercar um pasto retangular vizinho a um rio. O pasto deve conter 180000 metros quadrados para fornecer grama suficiente para o rebanho. Quais as dimensões do pasto para gastar a quantidade mínima de cerca se não há necessidade de cerca ao longo do rio?
Passo 1
O problema é de otimização: queremos cercar um terreno retangular de área
,
, usando a margem de um rio como um dos lados (logo não precisa de cerca nesse lado). Precisamos minimizar o comprimento de cerca usado em três lados (dois lados perpendiculares ao rio e um lado paralelo oposto ao rio). Vamos usar cálculo para encontrar as dimensões que minimizam essa cerca.
Passo 2
Definimos as variáveis:
- Seja
a largura do terreno paralela ao rio (em metros). - Seja
a profundidade do terreno perpendicular ao rio (em metros).
A condição de área fixa é
O comprimento de cerca
necessário cobre dois trechos de comprimento
mais um trecho de comprimento
, ou seja,
Passo 3
Usamos a restrição de área para eliminar uma variável. Da área
temos
Substituindo em
,
Passo 4
Para minimizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 5
Podemos verificar que
em
, garantindo mínimo local. Agora obtemos
via a área:
Resposta
A configuração que minimiza a quantidade de cerca é