Calcule as integrais iteradas:
integral0^ln 2 integral0^1 x y e^y^2 x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^ln 2!integral0^1 x,y,e^y^2x,dy,dx
O conteúdo envolve primeiro integrar em y (tratando x como constante) e depois em x.

Passo 2

Fixando x, vamos calcular
integral0^1 x,y,e^y^2x,dy
Repare que podemos usar a substituição t = y^2 para simplificar a exponencial.

Passo 3

Fazendo t = y^2 temos dt = 2y,dy, ou seja y,dy = tfracdt2. Quando y vai de 0 a 1, t vai de 0 a 1. Logo
integral0^1 x,y,e^y^2x,dy = x integral0^1 e^x t,dt2 = x2integral0^1 e^x t,dt

Passo 4

Ainda com x constante,
integral0^1 e^x t,dt = l[e^x txr]t=0^1 = e^x-1x
Assim a integral em y fica
x2,e^x-1x = e^x-12

Passo 5

Agora voltamos à integral em x:
integral0^ln 2e^x-12,dx = 12integral0^ln 2(e^x-1),dx

Passo 6

Calculamos a primitiva:
integral(e^x-1),dx = e^x-x,
portanto
12l[e^x-xr]0^ln 2 = 12l[(e^ln 2-ln 2)-(e^0-0)r] = 12l[(2-ln 2)-(1)r] = 1-ln 22

Resposta

1-ln 22

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