Calcule y^prime :
Determine
y=x t g^-1 raizx

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x ;tg^-1!l(raizxr)
onde tg^-1 é a função arco-tangente (ou seja, tg^-1(u)=arctan(u)). Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevendo
y = u(x),v(x),
com u(x)=x e v(x)=arctanl(raizxr), a regra do produto diz
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=x,
u'(x)=1

Passo 4

Para v'(x), note que v(x)=arctan(w) com w=raizx. Pela regra da cadeia,
v'(x) = ddxl[arctan(w)r] = w'1 + w^2
Como w=raizx=x^1/2, temos
w' = 12,x^-1/2 = 12raizx,
e
1+w^2 = 1 + (raizx)^2 = 1 + x
Portanto
v'(x) = 12raizx,(1+x)

Passo 5

Substituindo em
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
obtemos
y' = 1cdotarctan(raizx) + xcdot12raizx,(1+x) = arctan(raizx) + x2raizx,(1+x)
Como xraizx=raizx, simplifica para
y' = arctan(raizx) + raizx2,(1+x)

Resposta

y' = arctanl(raizxr) ;+;raizx2,(1+x)

Exercícios relacionados