Calcule as integrais iteradas.
integral1^2 integralx^3^x e^y / x d y d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de integrais iteradas. O enunciado pede para calcular a integral dupla . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar em duas variáveis e seguir os limites de integração dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral iterada. Nesse caso, temos uma integral dupla onde integramos primeiro com respeito a e depois com respeito a . A ordem da integração é importante e está definida pelos limites: para cada entre 1 e 2, varia de até . Então, nosso plano é:
  1. Integrar em relação a , mantendo constante.
  2. Depois, integrar o resultado com respeito a de 1 a 2.

Passo 3

Vamos começar integrando a função integral e^y / x , dy = x e^y / x + C em relação a . Aqui, tratamos como uma constante. A integral de em relação a é , onde é uma constante. No nosso caso, , então:
Onde �� a constante de integração, que não precisamos considerar nas integrais definidas.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integralx^3^x e^y / x , dy = [ x e^y / x ]y = x^3^y = x = x e^x / x - x e^x^3 / x = x e^1 - x e^x^2 que vão de = x e - x e^x^2 até :
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão com respeito a integral1^2 ( x e - x e^x^2 ) , dx = e integral1^2 x , dx - integral1^2 x e^x^2 , dx de 1 a 2:
e integral1^2 x , dx = e [ 12 x^2 ]1^2 = e ( 12 cdot 4 - 12 cdot 1 ) = e ( 2 - 0.5 ) = e cdot 1.5 = 3e2
Vamos resolver cada integral separadamente.
Para a primeira integral:
integral1^2 x e^x^2 , dx = 12 integral1^4 e^u , du = 12 [ e^u ]1^4 = 12 (e^4 - e^1) = e^4 - e2
Para a segunda integral, fazemos uma substituição:
Deixe , então , ou seja, .
Quando , ; quando , .
Então:

Resposta

Juntando tudo:
3e2 - e^4 - e2 = 3e - e^4 + e2 = 4e - e^42 = 2e - e^42
Portanto, o valor da integral dupla é:
2e - e^42

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