Calcule as integrais iteradas:
a)
integral1^2 integral1^2 y e^x y d x d y

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral iterada
integral1^2!integral1^2y,e^x y,dx,dy.
O conteúdo envolve integrais iteradas e a aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo para funções exponenciais. Vamos integrar primeiro em x (mantendo y constante) e depois em y.

Passo 2

Integramos em x:
integral y,e^x y,dx
Como ddxe^x y=y,e^x y, temos
integral y,e^x y,dx = e^x y + C
Portanto, a integral interna de x de 1 a 2 é
l[e^x yr]x=1^x=2 = e^2y - e^y

Passo 3

Substituindo no integral em y, obtemos
integral1^2l(e^2y-e^yr),dy
Agora integramos cada termo:
integral e^2y,dy = 12e^2y, integral e^y,dy = e^y

Passo 4

Avaliaremos de y=1 a y=2:
[12e^2y - e^y]1^2 = l(tfrac12e^4-e^2r) -l(tfrac12e^2-er) = tfrac12e^4 - tfrac32e^2 + e

Resposta

12e^4 - 32e^2 + e

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