Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem que calcular uma integral dupla, ou seja, uma integral iterada. A expressão é:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções trigonométricas e como trabalhar com limites de integração que dependem da variável
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
:
Para fazer essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar
. Assim,
ou
.
Passo 3
Agora, substituímos na integral:
Observe que quando
,
, e quando
,
.
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Sabemos que
, então simplificando:
Passo 5
Agora que resolvemos a integral interna, vamos substituir de volta na integral externa:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 6
Vamos resolver cada parte separadamente. Primeiro, a integral de
:
Aplicando os limites:
Passo 7
Agora, a segunda integral envolve
. Para resolver, fazemos outra substituição:
Deixe
, então
ou
.
Então, a integral fica:
Aplicando os limites:
Passo 8
Agora, juntando as duas partes:
Resposta
O valor da integral iterada é
.