Calcule as integrais iteradas.
integralraizpi^raiz2 pi integral0^x^3 sen yx d y d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem que calcular uma integral dupla, ou seja, uma integral iterada. A expressão é:
integralraizpi^raiz2 pi integral0^x^3 sin( yx ), dy, dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções trigonométricas e como trabalhar com limites de integração que dependem da variável .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integral0^x^3 sin( yx ), dy :
Para fazer essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar . Assim, ou .

Passo 3

Agora, substituímos na integral:
integral0^x^3 sin( yx ), dy = integral0^x^2 sin(u) cdot x, du = x integral0^x^2 sin(u), du
Observe que quando , , e quando , .

Passo 4

Agora, vamos integrar x integral0^x^2 sin(u), du = x [ -cos(u) ]0^x^2 = x ( -cos(x^2) + cos(0) ) em relação a x ( 1 - cos(x^2) ) :
Sabemos que , então simplificando:

Passo 5

Agora que resolvemos a integral interna, vamos substituir de volta na integral externa:
integralraizpi^raiz2 pi x ( 1 - cos(x^2) ) dx
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integralraizpi^raiz2 pi x , dx - integralraizpi^raiz2 pi x cos(x^2) , dx

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente. Primeiro, a integral de integral x , dx = 12 x^2 + C :
[ 12 x^2 ]raizpi^raiz2 pi = 12 (2pi) - 12 (pi) = pi - pi2 = pi2
Aplicando os limites:

Passo 7

Agora, a segunda integral envolve integral x cos(x^2) , dx = 12 integral cos(v) , dv = 12 sin(v) + C = 12 sin(x^2) + C . Para resolver, fazemos outra substituição:
Deixe [ 12 sin(x^2) ]raizpi^raiz2 pi = 12 ( sin(2pi) - sin(pi) ) = 12 (0 - 0) = 0 , então ou .
Então, a integral fica:
Aplicando os limites:

Passo 8

Agora, juntando as duas partes:
pi2 - 0 = pi2

Resposta

O valor da integral iterada é .

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