Seja f(x, y)=2 x^2+y^2 definida em D=x^2+y^2 <= 1.
  1. (1 ponto) Determine e classifique os pontos críticos de f em x^2+y^2< 1.

Passo 1

A questão pede para achar e classificar os pontos críticos de f(x,y)=2x^2+y^2 no interior do círculo x^2+y^2<1. Vamos usar o método de derivadas parciais para encontrar pontos críticos e depois a matriz Hessiana para classificar.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais:
fx=partialpartial x(2x^2+y^2)=4x, fy=partialpartial y(2x^2+y^2)=2y
Igualamos a zero:
4x=0, 2y=0
Isso dá o único ponto crítico (x,y)=(0,0), que está no interior do disco.

Passo 3

Para classificar, montamos a matriz Hessiana:
$$H= H=fxx&fxyfyx&fyy= 4&00&2=
D1=4>0, D2=det H=4cdot2-0=8>0. (0,0)ãD_1=4>0,\quad D_2=\det H=4\cdot2-0=8>0.$$
Como todos os menores principais são positivos, a Hessiana é definida positiva, logo é mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico em x^2+y^2<1 é (0,0), e ele é um mínimo local.

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