Calcule as integrais iteradas.
integral1^2 integral0^y^2 e^x / y^2 d x d y

Passo 1

Então, vamos resolver a integral iterada . A matéria aqui envolve cálculo de integrais duplas, especificamente integrando funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais em relação a uma variável enquanto tratamos a outra como constante.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .
A integral de em relação a é igual a . Isso porque a derivada de em relação a nos dá de volta .

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração de y^2 e^x / y^2 g|0^y^2 = y^2 e^y^2 / y^2 - y^2 e^0 = y^2 e^1 - y^2 cdot 1 = y^2 (e - 1) a :

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, substituímos de volta na integral externa:
integral1^2 y^2 (e - 1) , dy
Como (e - 1) integral1^2 y^2 , dy é uma constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:

Passo 5

Vamos integrar integral y^2 , dy = y^33 em relação a y^33 g|1^2 = 83 - 13 = 73 :
Aplicando os limites de a :

Passo 6

Agora, multiplicamos pelo fator constante que tiramos antes:
(e - 1) cdot 73 = 7(e - 1)3

Resposta

A integral iterada é igual a .

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