Seja f(x, y)=2 x^2+y^2 definida em D=x^2+y^2 <= 1.
3. (1 ponto) Determine os valores de máximo absoluto e mínimo absolutos de f em seu domínio D e os pontos onde esses valores ocorrem.

Passo 1

A função é f(x, y) = 2x² + y² definida no disco fechado D = {x² + y² ≤ 1}. O conteúdo é extremos absolutos de funções de duas variáveis em domínios fechados, e vamos usar derivadas parciais para pontos críticos internos e depois analisar a fronteira.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais para achar pontos críticos internos. Temos ∂f/∂x = 4x e ∂f/∂y = 2y. Igualando a zero, obtemos o único ponto crítico (0, 0) que está dentro de D.

Passo 3

Avalie f no ponto crítico interno. Temos:
f(0,0)=2·0²+0²=0²²

Passo 4

Analise a fronteira x² + y² = 1. Da condição y² = 1 − x², a função restrita à fronteira vira
f(x)=2x² + (1−x²)=1 + x²²²²
Como x² varia em [0,1], f(x) varia em [1,2]. O valor mínimo na fronteira é 1 em (0,±1) e o máximo é 2 em (±1,0).

Passo 5

Compare os valores: no interior o menor valor é 0, na fronteira os valores variam entre 1 e 2. Portanto, o mínimo absoluto de f ocorre em (0,0) e o máximo absoluto ocorre em (1,0) e em (-1,0).

Resposta

Mínimo absoluto de f é 0 em (0,0). Máximo absoluto de f é 2 em (1,0) e em (-1,0).

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