Seja
definida em
.
3. (1 ponto) Determine os valores de máximo absoluto e mínimo absolutos de
em seu domínio
e os pontos onde esses valores ocorrem.
3. (1 ponto) Determine os valores de máximo absoluto e mínimo absolutos de
Passo 1
A função é f(x, y) = 2x² + y² definida no disco fechado D = {x² + y² ≤ 1}. O conteúdo é extremos absolutos de funções de duas variáveis em domínios fechados, e vamos usar derivadas parciais para pontos críticos internos e depois analisar a fronteira.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais para achar pontos críticos internos. Temos ∂f/∂x = 4x e ∂f/∂y = 2y. Igualando a zero, obtemos o único ponto crítico (0, 0) que está dentro de D.
Passo 3
Avalie f no ponto crítico interno. Temos:
Passo 4
Analise a fronteira x² + y² = 1. Da condição y² = 1 − x², a função restrita à fronteira vira
Como x² varia em [0,1], f(x) varia em [1,2]. O valor mínimo na fronteira é 1 em (0,±1) e o máximo é 2 em (±1,0).
Passo 5
Compare os valores: no interior o menor valor é 0, na fronteira os valores variam entre 1 e 2. Portanto, o mínimo absoluto de f ocorre em (0,0) e o máximo absoluto ocorre em (1,0) e em (-1,0).
Resposta
Mínimo absoluto de f é 0 em (0,0). Máximo absoluto de f é 2 em (1,0) e em (-1,0).