Calcule as integrais iteradas seguintes:
integral0^pi / 3 integral-1^1(5 x^2+1) sen(3 y) d x d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla, ou seja, uma integral iterada, da função 5x^2 + 1 multiplicada por sin(3y), onde x varia de -1 a 1 e y varia de 0 a pi/3. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de integrais iteradas, que envolvem integrar primeiro uma variável e depois a outra.

Passo 2

Vamos começar integrando a função em relação a x, mantendo y constante. A integral interna é:
integral-1^1 (5x^2 + 1) sin(3y) , dx
Como sin(3y) não depende de x, conseguimos tratá-la como uma constante durante a integração em relação a x.

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
sin(3y) integral-1^1 (5x^2 + 1) , dx = sin(3y) ( integral-1^1 5x^2 , dx + integral-1^1 1 , dx )
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos integral-1^1 5x^2 , dx:
integral-1^1 5x^2 , dx = 5 integral-1^1 x^2 , dx = 5 [ x^33 ]-1^1 = 5 ( 13 - (-13) ) = 5 ( 23 ) = 103
Em seguida, calculamos integral-1^1 1 , dx:
integral-1^1 1 , dx = [x]-1^1 = 1 - (-1) = 2

Passo 5

Agora, substituímos os resultados das integrais na expressão original:
sin(3y) ( 103 + 2 ) = sin(3y) ( 103 + 63 ) = sin(3y) ( 163 ) = 163 sin(3y)
Isso nos deixa com a integral externa:
integral0^pi/3 163 sin(3y) , dy

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y:
163 integral0^pi/3 sin(3y) , dy
A integral de sin(3y) em relação a y é:
- 13 cos(3y) + C
Então, substituindo os limites de integração:
163 [ - 13 cos(3y) ]0^pi/3 = - 169 [ cos(3y) ]0^pi/3

Passo 7

Substituindo os limites de integração:
Para y = pi/3:
cos(3 cdot pi3) = cos(pi) = -1
Para y = 0:
cos(0) = 1
Então:
- 169 ( -1 - 1 ) = - 169 (-2) = 329

Resposta

O valor da integral dupla é 329.

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