Calcule as integrais iteradas seguintes:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla, ou seja, uma integral iterada, da função
multiplicada por
, onde
varia de -1 a 1 e
varia de 0 a
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de integrais iteradas, que envolvem integrar primeiro uma variável e depois a outra.
Passo 2
Vamos começar integrando a função em relação a
, mantendo
constante. A integral interna é:
Como
não depende de
, conseguimos tratá-la como uma constante durante a integração em relação a
.
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Passo 5
Agora, substituímos os resultados das integrais na expressão original:
Isso nos deixa com a integral externa:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
:
A integral de
em relação a
é:
Então, substituindo os limites de integração:
Passo 7
Substituindo os limites de integração:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
O valor da integral dupla é
.