Resolva o PVI abaixo, expressando a resposta como um produto de convolução.
2 y^prime prime-12 y^prime+26 y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

Resumo do problema: temos o PVI de 2ª ordem com coeficientes constantes
2y''-12y'+26y=g(t),
com condições iniciais nulas y(0)=0, y'(0)=0. O conteúdo é EDO linear não-homogênea e vamos usar transformada de Laplace e o teorema da convolução para expressar a solução.

Passo 2

Aplicar transformada de Laplace usando Ly'=sY(s)-y(0) e Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0). Como as condições iniciais são zero, obtemos
2(s^2Y(s)) -12(sY(s)) +26Y(s) = G(s),
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Y(s)=G(s)2(s^2-6s+13)

Passo 3

Isolar a função de transferência (resposta ao impulso) definindo
H(s)=12(s^2-6s+13)
Fazendo quadrado perfeito em s^2-6s+13=(s-3)^2+4, temos
H(s)=12l((s-3)^2+2^2r)

Passo 4

Encontrar h(t)=L^-1H(s). Como
Le^3tsin(2t)=2(s-3)^2+2^2,
nós escrevemos
H(s)=12cdot1(s-3)^2+4=14cdot2(s-3)^2+2^2
Portanto
h(t)=14e^3tsin(2t), t>=0

Passo 5

Expressar a solução como convolução pelo teorema:
y(t)=(h*g)(t)=integral0^t h(t-tau),g(tau),dtau
Substituindo h, a solução final é
y(t)=integral0^t14e^3(t-tau)sinl(2(t-tau)r),g(tau),dtau

Resposta

y(t)=\displaystyle\int_0t\frac{1}{4}e{3(t-\tau)}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr),g(\tau),d\tau

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