Calcule as integrais iteradas seguintes:
integral0^1 integralraizy^y x^2 y^3 d x d y

Passo 1

Nesse problema, temos uma integral iterada de uma função de duas variáveis: f(x,y)=x^2y^3. O enunciado pede para calcular
integral0^1integralraizy^y x^2y^3,dx,dy
O conteúdo envolvido é cálculo de integrais iteradas, integrando primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Começamos pela integral interna em x:
integralraizy^y x^2y^3,dx
Como y^3 é constante em relação a x, podemos escrever
y^3integralraizy^y x^2,dx

Passo 3

Para integral x^2,dx usamos a primitiva
integral x^2,dx=x^33
Aplicando os limites x=raizy e x=y, obtemos
y^3l(y^33-(raizy)^33r)

Passo 4

Dentro dos parênteses, temos (raizy)^3=y^3/2. Fatorando 1/3, a integral total vira
13integral0^1l(y^6 - y^3/2r),dy

Passo 5

Agora, encontramos as primitivas em y:
integral y^6,dy=y^77, integral y^3/2,dy=2y^5/25
Vamos avaliar essas expressões de y=0 a y=1.

Passo 6

Substituindo y=1 e y=0 nas primitivas e multiplicando por 1/3, fazemos a diferença
13l(1^77-2cdot1^5/25r)-13l(0-0r)
e realizamos as operações de fração para chegar ao valor numérico.

Passo 7

Após simplificar as frações e fazer as operações, concluímos o valor da integral iterada.

Resposta

-3/35

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