Calcule as integrais iteradas seguintes:
integral0^1 integral0^2 raizx+y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral0^1 integral0^2 raizx+y , dy , dx. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis, integrando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é integral0^2 raizx + y , dy. Aqui, estamos integrando em relação a y, então tratamos x como uma constante.

Passo 3

Para integrar raizx + y em relação a y, vamos fazer uma substituição simples. Seja u = x + y. Assim, a derivada de u em relação a y é du/dy = 1, ou seja, du = dy.

Passo 4

Agora, mudamos os limites de integração para u. Quando y = 0, u = x + 0 = x. Quando y = 2, u = x + 2. Então, nossa integral se transforma em:
integralx^x+2 raizu , du

Passo 5

Vamos integrar raizu. Sabemos que integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C. Agora, aplicamos os limites de x a x+2:
23 (x + 2)^3/2 - 23 x^3/2

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral externa. Então, precisamos calcular:
integral0^1 [ 23 (x + 2)^3/2 - 23 x^3/2 ] dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
23 integral0^1 (x + 2)^3/2 , dx - 23 integral0^1 x^3/2 , dx

Passo 7

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral: integral0^1 (x + 2)^3/2 , dx
Fazemos uma substituição u = x + 2, então du = dx. Quando x = 0, u = 2. Quando x = 1, u = 3. A integral fica:
integral2^3 u^3/2 , du = 25 u^5/2 |2^3 = 25 (3^5/2 - 2^5/2)
Segunda integral: integral0^1 x^3/2 , dx
Sabemos que integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C, então:
25 x^5/2 |0^1 = 25 (1^5/2 - 0) = 25

Passo 8

Agora, juntamos as duas partes:
23 ( 25 (3^5/2 - 2^5/2) ) - 23 ( 25 )
Simplificando:
415 (3^5/2 - 2^5/2) - 415 = 415 (3^5/2 - 2^5/2 - 1)

Passo 9

Calculando os valores numéricos:
  • 3^5/2 = 3^2 cdot 3^1/2 = 9 cdot raiz3 approx 9 cdot 1.732 = 15.588
  • 2^5/2 = 2^2 cdot 2^1/2 = 4 cdot raiz2 approx 4 cdot 1.414 = 5.656
Substituindo:
415 (15.588 - 5.656 - 1) = 415 (8.932) approx 4 cdot 8.93215 approx 35.72815 approx 2.382

Resposta

O valor da integral dupla é aproximadamente 2,38.

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