(Cálculo de derivadas e diferenciação implícita - 2,5 pontos) Calcule d yd x usando as regras de derivação.
y=ln (3 x^35 x-2)

Passo 1

A gente tem a função
y = lnl(3x^35x - 2r)
O conteúdo aqui é derivada de logaritmo, usando a regra de ddxln(u) = u'u e a propriedade de logaritmo de quociente.

Passo 2

Para simplificar a derivada, usamos a identidade ln(a/b)=ln(a)-ln(b). Assim:
y = ln(3x^3) - ln(5x - 2)
e mais ainda:
y = ln(3) + 3ln(x) - ln(5x - 2)

Passo 3

Agora derivamos termo a termo:
  • ddxln(3)=0 porque é constante.
  • ddx[3ln(x)] = 3cdot1x = 3x
  • ddx[-ln(5x - 2)] = -55x - 2, usando a regra da cadeia.

Passo 4

Somando esses resultados e colocando no mesmo denominador, fica:
dydx = 3x - 55x - 2 = 3(5x - 2) - 5xx(5x - 2) = 15x - 6 - 5xx(5x - 2) = 10x - 6x(5x - 2) = 2(5x - 3)x(5x - 2)

Resposta

2(5x - 3)x(5x - 2)

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