Classifique as equações diferenciais abaixo de acordo com os critérios apresentados. Verifique também quais são as variáveis independente e dependentes.
x d y+y^2 d x=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial x,dy + y^2,dx = 0 segundo ordem, linearidade, tipo (separável, exata, Bernoulli etc.) e indicar variável independente e dependente.

Passo 2

Identificamos as variáveis olhando aos diferenciais: aparece dx e dy, portanto a variável independente é x e a dependente é y.
Para pôr em forma normal, dividimos por dx (supondo dxneq0):
dydx + y^2x = 0
ou equivalentemente
dydx = -y^2x.

Passo 3

Como só aparece dy/dx (nenhuma derivada de ordem superior), a equação é de primeira ordem.
Para testar linearidade, tentamos escrever em dy/dx + P(x)y = Q(x). Aqui teríamos dy/dx + 0cdot y = -y^2/x, mas o termo de ordem zero em y é -y^2/x, não uma função só de x. Logo é não linear.

Passo 4

Verificamos separabilidade: podemos separar variáveis
dydx = -y^2x implies dyy^2 = -dxx
Logo é uma equação separável.
Observamos ainda que, escrita como
dydx + 0cdot y = -1xy^2,
está na forma de Bernoulli com expoente n=2, confirmando que é uma equação de Bernoulli.

Passo 5

Para testar exatidão na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 com M=y^2 e N=x, calculamos


Como não são iguais, não é exata.

Resposta

Equação ordinária de primeira ordem, não linear, mas separável e de tipo Bernoulli (expoente 2), não exata. Variável independente: x; variável dependente: y.

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