Calcule as integrais iteradas seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos calcular essa integral iterada:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
. A função
é uma exponencial onde a base é
e o expoente é
. A antiderivada de
em relação a
é
, onde
é uma constante. No nosso caso,
.
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de
de 0 a
:
Passo 5
Agora, temos que integrar esse resultado em relação a
de 0 a 1:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 6
Vamos resolver a primeira integral
usando substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Quando
,
e quando
,
.
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, resolvemos a segunda integral
:
Passo 8
Voltando à expressão original: