Calcule as integrais iteradas seguintes:
integral0^1 integral0^y^2 2 y^3 e^x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral iterada:
integral0^1 integral0^y^2 2 y^3 e^x y , dx , dy
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a x:
integral0^y^2 2 y^3 e^x y , dx
Aqui, y é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a x.

Passo 3

Vamos integrar 2 y^3 e^x y em relação a x. A função e^x y é uma exponencial onde a base é e e o expoente é x y. A antiderivada de e^k x em relação a x é 1k e^k x, onde k é uma constante. No nosso caso, k = y.
Então, a integral fica:
2 y^3 cdot 1y e^x y = 2 y^2 e^x y

Passo 4

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de x de 0 a y^2:
2 y^2 e^y y^2 - 2 y^2 e^0 = 2 y^2 e^y^3 - 2 y^2 cdot 1 = 2 y^2 ( e^y^3 - 1 )

Passo 5

Agora, temos que integrar esse resultado em relação a y de 0 a 1:
integral0^1 2 y^2 ( e^y^3 - 1 ) , dy
Podemos separar essa integral em duas partes:
2 integral0^1 y^2 e^y^3 , dy - 2 integral0^1 y^2 , dy

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral integral0^1 y^2 e^y^3 , dy usando substituição. Seja u = y^3, então du = 3 y^2 dy, ou seja, y^2 dy = 13 du. Quando y = 0, u = 0 e quando y = 1, u = 1.
Então, a integral fica:
13 integral0^1 e^u , du = 13 ( e^1 - e^0 ) = 13 (e - 1)

Passo 7

Agora, resolvemos a segunda integral integral0^1 y^2 , dy:
integral0^1 y^2 , dy = [ y^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13

Passo 8

Voltando à expressão original:
2 cdot 13 (e - 1) - 2 cdot 13 = 23 (e - 1) - 23 = 23 e - 23 - 23 = 23 e - 43 = 23 (e - 2)

Resposta

23 ( e - 2 )

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