Use a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.
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Passo 1
Resumo do enunciado: Precisamos calcular a integral definida
usando a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo é encontrar uma antiderivada de f(t)=6/√(1−t^2) e aplicá-la nos limites de integração.
Passo 2
Verificação das hipóteses e antiderivada: A função f(t)=6/√(1−t^2) é contínua em [1/2,√3/2] pois 1−t^2>0 nesse intervalo. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo parte 2, se F′(t)=f(t), então
Sabemos que a antiderivada de 1/√(1−t^2) é arcsin(t). Logo uma antiderivada de f é
Passo 3
Aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo: Substituindo F nos limites, temos
Passo 4
Avaliação dos arcos e cálculo final: Sabendo que
segue
Resposta
\pi