Use a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.
s) integral1 / 2^raiz3 / 2 6raiz1-t^2 d t.

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos calcular a integral definida
integral1/2^raiz3/2 6raiz1 - t^2,dt
usando a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo é encontrar uma antiderivada de f(t)=6/√(1−t^2) e aplicá-la nos limites de integração.

Passo 2

Verificação das hipóteses e antiderivada: A função f(t)=6/√(1−t^2) é contínua em [1/2,√3/2] pois 1−t^2>0 nesse intervalo. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo parte 2, se F′(t)=f(t), então
integral1/2^raiz3/2 f(t),dt=Fl(raiz3/2r)-Fl(1/2r)
Sabemos que a antiderivada de 1/√(1−t^2) é arcsin(t). Logo uma antiderivada de f é
F(t)=6,arcsin(t)

Passo 3

Aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo: Substituindo F nos limites, temos
integral1/2^raiz3/2 6raiz1 - t^2,dt =6,arcsinl(tfracraiz32r)-6,arcsinl(tfrac12r)

Passo 4

Avaliação dos arcos e cálculo final: Sabendo que
arcsinl(tfrac12r)=pi6, arcsinl(tfracraiz32r)=pi3,
segue
6l(tfracpi3-tfracpi6r)=6cdottfracpi6=pi

Resposta

\pi

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