Calcule as integrais iteradas seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
. O conteúdo envolvido é integração dupla por partes, onde primeiro integramos em
e depois em
. Vamos precisar usar a derivada e integral de funções
.
Passo 2
Calcular a integral interna em
:
Passo 3
Passar à integral externa em
:
Para isso, usamos a fórmula de primitivação
aplicando separadamente a e a
.
aplicando separadamente a
Passo 4
Avaliar nos limites
e
e simplificar:
[
\bigl[(x+2)\ln(x+2)-x\bigr]_{1}{2}-\bigl[(x+1)\ln(x+1)-x\bigr]_{1}{2}
=4\ln4-3\ln3-\bigl(3\ln3-2\ln2\bigr)
=8\ln2-6\ln3+2\ln2
=10\ln2-6\ln3.
\bigl[(x+2)\ln(x+2)-x\bigr]_{1}{2}-\bigl[(x+1)\ln(x+1)-x\bigr]_{1}{2}
=4\ln4-3\ln3-\bigl(3\ln3-2\ln2\bigr)
=8\ln2-6\ln3+2\ln2
=10\ln2-6\ln3.