Calcule as integrais iteradas seguintes:
integral1^2 integral1^2 1x+y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada integral1^2integral1^21x+y,dy,dx. O conteúdo envolvido é integração dupla por partes, onde primeiro integramos em y e depois em x. Vamos precisar usar a derivada e integral de funções ln.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
integral1^21x+y,dy =l[ln(x+y)r]y=1^y=2 =ln(x+2)-ln(x+1)

Passo 3

Passar à integral externa em x:
integral1^2l(ln(x+2)-ln(x+1)r),dx
Para isso, usamos a fórmula de primitivação
ln(x+2)
aplicando separadamente a ln(x+1) e a .

Passo 4

Avaliar nos limites x=1 e x=2 e simplificar:
[
\bigl[(x+2)\ln(x+2)-x\bigr]_{1}{2}-\bigl[(x+1)\ln(x+1)-x\bigr]_{1}{2}
=4\ln4-3\ln3-\bigl(3\ln3-2\ln2\bigr)
=8\ln2-6\ln3+2\ln2
=10\ln2-6\ln3.

Resposta

10ln2 - 6ln3

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