Calcule
, onde
é o triângulo com vertices
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o triângulo de vértices
,
e
. O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas: vamos parametrizar a região, montar os limites de integração, expandir o integrando e calcular passo a passo.
Passo 2
A região
pode ser descrita por
Isso vem de traçar linhas verticais: para cada entre
e
,
vai de
até a reta que une
a
e a reta que une
a
, ambas dadas por
.
Isso vem de traçar linhas verticais: para cada
Passo 3
Vamos integrar primeiro em
. Expandindo o integrando:
Então
Passo 4
Precisamos agora integrar em
:
Note que o segundo termo é ímpar em
(pois troca de sinal quando
), então sua integral em
anula-se. Restam apenas os termos pares, e pela simetria:
Passo 5
Basta então calcular
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