Calcule integral duplaR(2 x+3 y)^2 d x d y, onde R é o triângulo com vertices (-1,0),(0,1) e (1,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR(2x+3y)^2,dx,dy onde R é o triângulo de vértices (-1,0), (0,1) e (1,0). O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas: vamos parametrizar a região, montar os limites de integração, expandir o integrando e calcular passo a passo.

Passo 2

A região R pode ser descrita por

Isso vem de traçar linhas verticais: para cada x entre -1 e 1, y vai de 0 até a reta que une (-1,0) a (0,1) e a reta que une (0,1) a (1,0), ambas dadas por y=1-|x|.

Passo 3

Vamos integrar primeiro em y. Expandindo o integrando:
(2x+3y)^2 = 4x^2 + 12xy +9y^2
Então
integral0^1-|x|(2x+3y)^2,dy =integral0^1-|x|(4x^2 +12xy +9y^2),dy =l[4x^2y +6xy^2 +3y^3r]0^1-|x| =4x^2(1-|x|)+6x(1-|x|)^2+3(1-|x|)^3

Passo 4

Precisamos agora integrar em x:
I=integral-1^1l[4x^2(1-|x|)+6x(1-|x|)^2+3(1-|x|)^3r]dx
Note que o segundo termo é ímpar em x (pois troca de sinal quando xto -x), então sua integral em [-1,1] anula-se. Restam apenas os termos pares, e pela simetria:
I=2integral0^1l[4x^2(1-x)+3(1-x)^3r]dx

Passo 5

Basta então calcular
A=integral0^14x^2(1-x),dx=4l[tfracx^33-tfracx^44r]0^1=4l(tfrac13-tfrac14r)=tfrac13,
B=integral0^13(1-x)^3,dx=3cdottfrac(1-x)^44|0^1=3cdottfrac14=tfrac34
Logo
I=2l(A+Br)=2l(tfrac13+tfrac34r)=2cdottfrac1312=tfrac136

Resposta

tfrac136

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