(Técnicas de construção de gráficos -2,5 pontos) Dada a função f(x)=13 x^3+12 x^2-x
determine os intervalos de crescimento e de decrescimento;

Passo 1

Temos a função f(x)=tfrac13x^3+tfrac12x^2-x. O conteúdo aqui é derivadas e monotonicidade. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de f e analisar o sinal de f'(x) para determinar onde a função cresce ou decresce.

Passo 2

A teoria de monotonicidade diz que se f'(x)>0, então f é crescente, e se f'(x)<0, f é decrescente. Portanto, o primeiro passo concreto é obter f'(x).
Derivando termo a termo, obtemos
f'(x)=ddxl(tfrac13x^3+tfrac12x^2-xr)=x^2+x-1

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
x^2+x-1=0Longrightarrow x=-1pmraiz1+42=-1pmraiz52
Chamemos
r1=-1-raiz52, r2=-1+raiz52

Passo 4

A função f'(x)=x^2+x-1 é uma parábola com coeficiente de x^2 positivo, logo ela é positiva para x e para x>r2, e negativa para r1. Portanto, f cresce quando f'(x)>0 e decresce quando f'(x)<0.

Resposta

A função é crescente em l(-infty,tfrac-1-raiz52r)cupl(tfrac-1+raiz52,+inftyr) e decrescente em l(tfrac-1-raiz52,tfrac-1+raiz52r).

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