Verifique se as séries dadas são convergentes:
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{5^{n}}+n\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{5^{n}}+n\right)
é convergente ou divergente. Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{1}{5^{n}}+n.
  • A soma é tomada de n=1 até +\infty.

Passo 2

Lembrete importante (fato necessário para convergência): se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} a_n converge, então o termo geral a_n tende a zero quando n\to\infty. Explicando por que isso é verdade, de modo simples:
  • Defina a soma parcial S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n.
  • Se a série converge, as S_N têm limite finito S.
  • Então a_{N+1}=S_{N+1}-S_N. Tomando limite em ambos os lados, o lado direito tende a S-S=0.
  • Conclusão: é necessário que \lim_{n\to\infty} a_n = 0 para a série convergir.
    Esse teste é o mais rápido para muitos exercícios: se o termo geral não tende a zero, a série não converge.

Passo 3

Aplicando o teste ao nosso termo geral a_n=\dfrac{1}{5^{n}}+n:
  • Primeiro, observe que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{5^{n}}=0,
porque 5^{n} cresce exponencialmente e seu recíproco vai a zero.
  • Em seguida,
\lim_{n\to\infty} n = +\infty.
  • Somando limites (um é 0 e o outro diverge para +\infty) obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{5^{n}}+n\right)=+\infty \neq 0.
Como o termo geral não tende a zero, pela propriedade necessária acima a série não pode convergir. Portanto a série diverge.

Passo 4

(Vou mostrar um caminho alternativo, que também é útil em prova.) Podemos separar a soma em duas séries:
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{5^{n}}+n\right)=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{5^{n}}+\sum_{n=1}^{N} n.
  • A soma geométrica parcial é
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{5^{n}}=\frac{1}{4}\left(1-\left(\frac{1}{5}\right)^{N}\right),
que tende quando N\to\infty para \dfrac{1}{4} (portanto essa parte converge).
  • A soma dos naturais é
\sum_{n=1}^{N} n=\frac{N(N+1)}{2},
que tende para +\infty quando N\to\infty (portanto essa parte diverge).
Somando uma quantidade finita ( \tfrac{1}{4}) com algo que tende a +\infty +\infty. Logo as somas parciais da série original divergem para +\infty, confirmando que a série diverge.

Passo 5

Resumo prático para a prova: sempre verifique o limite do termo geral primeiro. Se não for zero, não perca tempo: a série diverge imediatamente. No caso aqui, o termo n domina e faz a_n não tender a zero, então a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados