Verifique se as séries dadas são convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A soma é tomada de
até .
Passo 2
Lembrete importante (fato necessário para convergência): se a série
converge, então o termo geral
tende a zero quando
. Explicando por que isso é verdade, de modo simples:
- Defina a soma parcial
. - Se a série converge, as
têm limite finito . - Então
. Tomando limite em ambos os lados, o lado direito tende a . - Conclusão: é necessário que
para a série convergir.
Esse teste é o mais rápido para muitos exercícios: se o termo geral não tende a zero, a série não converge.
Passo 3
Aplicando o teste ao nosso termo geral
:
- Primeiro, observe que
porque
cresce exponencialmente e seu recíproco vai a zero.
- Em seguida,
- Somando limites (um é
e o outro diverge para ) obtemos
Como o termo geral não tende a zero, pela propriedade necessária acima a série não pode convergir. Portanto a série diverge.
Passo 4
(Vou mostrar um caminho alternativo, que também é útil em prova.) Podemos separar a soma em duas séries:
- A soma geométrica parcial é
que tende quando
para
(portanto essa parte converge).
- A soma dos naturais é
que tende para
quando
(portanto essa parte diverge).
Somando uma quantidade finita (
) com algo que tende a
dá
. Logo as somas parciais da série original divergem para
, confirmando que a série diverge.
Passo 5
Resumo prático para a prova: sempre verifique o limite do termo geral primeiro. Se não for zero, não perca tempo: a série diverge imediatamente. No caso aqui, o termo
domina e faz
não tender a zero, então a série diverge.
Resposta
A série diverge.