Questāo 3 (4.0 pts)
Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{\sqrt{5-x^{2}-2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{\sqrt{5-x^{2}-2}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão a ser estudada é \dfrac{1-x}{\sqrt{5-x^{2}-2}}.
  • O ponto de aproximação é x\to 1.
  • Objetivo: calcular o valor numérico do limite quando x tende a 1.

Passo 2

Simplifico a expressão dentro da raiz para ficar mais claro:
5-x^{2}-2 = 3 - x^{2},
logo a função é
\frac{1-x}{\sqrt{3-x^{2}}}.

Passo 3

Verifico o valor de numerador e denominador ao substituir x=1:
  • Numerador: 1-1=0.
  • Denominador: \sqrt{3-1^{2}}=\sqrt{2}, que é um número finito e diferente de zero.

Passo 4

Explico a propriedade usada: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
Aqui vamos aplicar isso com f(x)=1-x e g(x)=\sqrt{3-x^{2}}.

Passo 5

Calculo os limites separados e justifico continuidade:
  • \displaystyle\lim_{x\to 1}(1-x)=0 porque é uma função polinomial linear (contínua) e seu valor em 1 é 0.
  • \displaystyle\lim_{x\to 1}\sqrt{3-x^{2}}=\sqrt{3-1^{2}}=\sqrt{2} porque x\mapsto x^{2} e x\mapsto 3-x^{2} são contínuas, e a função raiz quadrada é contínua em (0,\infty); como 3-1^{2}=2>0, a composição é contínua e o limite é o valor direto.

Passo 6

Como o limite do numerador é 0 e o limite do denominador é \sqrt{2}\neq 0, pelo teorema do quociente temos
\lim_{x\to 1}\frac{1-x}{\sqrt{3-x^{2}}}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0.

Resposta

0

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